Комплексни бројеви 4

Комплексни број. Множење комплексних бројева. Једнакост комплексних бројева. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5 На основу датих комплексних бојева одредити пименљиве $s$ и $t$ ,

тако да ${z_1}$ и ${z_2}$ буду једнаки.

${z_1} = - 5 + \left( {7 - 5} \right)i$ ${z_2} = 2t - 1 + 3i$ $s,t = ?$ ${z_1} = {z_2}$

Пр.6 Одредити $x$ и $y$ тако да важи следећа једнакост:

$\left( {8 - 3i} \right)x + \left( {5 - 2i} \right)y = - i$

Пр.7 Одредити производ датих комплексних бројева.

${z_1} = 3 - 2i$ ${z_2} = - 2 + 3i$ ${z_1} \cdot {z_2} = ?$

Пр.8 Одредити производ датог комплексног броја и коњуговано

комплексног броја.

$z = 5 - 4i$ $z \cdot \overline z = ?$

Пр. 5

$\begin{aligned}&{z_1} = - 5 + \left( {7 - s} \right)i \\ &{z_2} = 2t - 1 + 3i \\ &{z_1} = {z_2} \Rightarrow \\ &- 5 = 2t - 1 \Rightarrow 2t = - 4 \Rightarrow t = - 2 \\ &7 - s = 3 \Rightarrow s = 7 - 3 \Rightarrow s = 4\end{aligned}$

Пр. 6

$\begin{aligned}&\left( {8 - 3i} \right)x + \left( {5 - 2i} \right)y = - i \\ &8x - 3xi + 5y - 2yi = 0 - i \\ &\left( {8x + 5y} \right) + \left( { - 3x - 2y} \right)i = 0 - 1i\end{aligned}$

Решавам систем

$\begin{aligned}&8x + 5y = 0 \\ &- 3x - 2y = - 1 \\ &\left. {8x + 5y = 0} \right| \cdot 2 \\ &\left. { - 3x - 2y = - 1} \right| \cdot 5 \\ &\left. \begin{aligned}&16x + 10y = 0 \\ &- 15x - 10y = - 5\end{aligned} \right| + \\ &\boxed{x = - 5} \\ &8x + 5y = 0 \\ &8 \cdot \left( { - 5} \right) + 5y = 0 \\ &- 40 + 5y = 0 \\ &5y = 40 \\ &\boxed{y = 8}\end{aligned}$

Пр. 7

$\begin{aligned}&{z_1} = 3 - 2i \\ &{z_2} = - 2 + 3i \\ &{z_1} \cdot {z_2} = \left( {3 - 2i} \right)\left( { - 2 + 3i} \right) = - 6 + 9i + 4i - 6{i^2} = \\ &= - 6 + 6 + 13i = 13i\end{aligned}$

Пр. 8

$\begin{aligned}&z = 5 - 4i \\ &z \cdot \bar z = \left( {5 - 4i} \right)\left( {5 + 4i} \right) = {5^2} - {\left( {4i} \right)^2} = \\ &= 25 - 16{i^2} = 25 + 16 = 41\end{aligned}$

Два комплексна броја су једнака кад су им једнаки и реални и имагинарни делови: из $a + bi = c + di$ следи $a = c$ и $b = d$ . Тако једна једначина са комплексним бројевима даје систем од две реалне једначине. Комплексне бројеве множите као биноме, члан по члан, и $i^2$ замените са $-1$ : $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$ .

Производ броја и његовог конјугованог увек је реалан и ненегативан: $z \cdot \bar z = a^2 + b^2 = |z|^2$ , на пример $(2 - 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13$ . У комплексној равни модули се при множењу множе, а углови са реалном осом сабирају. Честа грешка је знак: $-6i^2$ није $-6$ , него $+6$ .

z₁ · z₂, реални део: 10
z₁ · z₂, имагинарни део: 5
|z₁| · |z₂|: 11,18
|z₁ · z₂|: 11,18

Модуо производа једнак је производу модула, а угао производа са реалном осом збиру углова. За

z_1 = 3 + 4i

и

z_2 = 2 - i

из примера производ је

10 + 5i

. Ставите

z_2

у тачку

i

: производ је

z_1

окренут за

90^\circ

.

У електротехници се напон, струја и импеданса наизменичне струје записују као комплексни бројеви, па се Омов закон $U = Z \cdot I$ рачуна множењем комплексних бројева.

Напон у колу наизменичне струје

У колу наизменичне струје импеданса потрошача је $Z = 3 + 4i$ Ω, а струја $I = 2 - i$ A. Израчунајте напон $U = Z \cdot I$ и његов модуо.

Решење

Множимо члан по члан: $(3 + 4i)(2 - i) = 6 - 3i + 8i - 4i^2$ .
Замењујемо $i^2 = -1$ : $6 - 3i + 8i + 4 = 10 + 5i$ .
Модуо: $|U| = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt 5 \approx 11{,}18$ V.
Провера: $|Z| \cdot |I| = \sqrt{9 + 16} \cdot \sqrt{4 + 1} = 5\sqrt 5$ , што је исто.

Одговор: Напон је $U = 10 + 5i$ V, а његов модуо $5\sqrt 5 \approx 11{,}18$ V.

Задатак за вежбу

Одредите реалне бројеве $x$ и $y$ тако да важи $(2 + i)x + (1 - 3i)y = 4 - 5i$ .

Прикажи решење

Групишемо: $(2x + y) + (x - 3y)i = 4 - 5i$ , па је $2x + y = 4$ и $x - 3y = -5$ . Решење система је $x = 1$ , $y = 2$ .