Косинусна теорема 2

Косинусна теорема. Примена на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Дате су странице $a = 2,b = 1$ и угао $\gamma = {60^ \circ }$ неког троугла. Одредити остале елементе тог троугла.

Пр.2) Дате су странице троугла $a = \sqrt 6 ,b = 2\sqrt 3$ и $c = 3 - \sqrt 3$ . Израчунати углове овог троугла.

Пр.1 $\begin{aligned}&{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \gamma \\ &{c^2} = 4 + 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos \gamma \\ &{c^2} = 3 \\ &c = \sqrt 3 \\ & \\ &\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} \\ &\frac{2}{{\sin \alpha }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \\ &\sqrt 3 \sin \alpha = 2\frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ &\sin \alpha = 1 \\ &\alpha = {90^\circ } \\ & \\ &\beta = {180^\circ } - \left( {\alpha + \gamma } \right) \\ &\beta = {30^\circ }\end{aligned}$

Пр.2 $\begin{aligned}&{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha \\ &6 = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {3 - \sqrt 3 } \right)^2} - 2 \cdot 2\sqrt 3 \cdot \left( {3 - \sqrt 3 } \right)\cos \alpha \\ &6 = 12 + 9 - 6\sqrt 3 + 3 - 4\sqrt 3 \left( {3 - \sqrt 3 } \right)\cos \alpha \\ &6 = 24 - 6\sqrt 3 + \left( { - 12\sqrt 3 + 12} \right)\cos \alpha \\ &\left( { - 12\sqrt 3 + 12} \right)\cos \alpha = 6 - 24 + 6\sqrt 3 \\ &\cos \alpha = \frac{{ - 18 + 6\sqrt 3 }}{{ - 12\sqrt 3 + 12}} = \frac{{6\left( {\sqrt 3 - 3} \right)}}{{12\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}} \cdot \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} \\ &\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 + 3 - 3 - 3\sqrt 3 }}{{2\left( {1 - 3} \right)}} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{{ - 4}} \\ &\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{aligned}$

109

$\alpha = {30^\circ }$ ( $\alpha$ не може да буде ${330^\circ }$ )

$\begin{aligned}&\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} \\ &\frac{{\sqrt 6 }}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sin \beta }} \\ &2\sqrt 6 = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sin \beta }} \\ &\sin \beta = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 \sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{aligned}$

110

$\begin{aligned}&1)\beta = {45^\circ } \\ &\gamma = {105^\circ } \\ &2)\beta = {135^\circ } \\ &\gamma = {15^\circ }\end{aligned}$

$\gamma$ не може бити ${105^\circ }$ ( $c < a < b \Rightarrow \gamma < \alpha < \beta$ ) онда $\alpha = {30^\circ };\beta = {135^\circ };\gamma = {15^\circ }$

Кад су дате две странице и угао између њих, косинусном теоремом нађите трећу страницу, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ , затим синусном теоремом још један угао, а трећи угао је допуна до $180^\circ$ . Кад су дате све три странице, углове рачунате из $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ . Косинус је једнозначан: између $0^\circ$ и $180^\circ$ свакој вредности косинуса одговара тачно један угао, а негативан косинус значи туп угао.

Синус то није: $\sin\beta = \frac{\sqrt 2}{2}$ даје и $45^\circ$ и $135^\circ$ . Зато други угао бирајте по правилу да наспрам веће странице лежи већи угао, или и њега рачунајте косинусном теоремом. Честа грешка је погрешан знак кад је $\cos\gamma$ негативан.

XL: 20 m
XD: 17 m
Угао φ: 20,9°
До гол-линије: 16,54 m

Угао под којим се види гол највећи је близу гола, испред његове средине, а са стране и из даљине брзо се смањује. Израчунава се косинусном теоремом:

\cos\varphi = \frac{XL^2 + XD^2 - 7{,}32^2}{2 \cdot XL \cdot XD}

.

Косинусна теорема се користи у спорту и навигацији: из растојања до две тачке и растојања између њих добија се угао под којим се нешто види, као што су гол, писта или улаз у луку.

Угао шута

Фудбалер је 20 m од једне стативе $L$ и 17 m од друге стативе $D$ , а гол је широк 7,32 m. Под којим углом играч види гол? Израчунајте и углове код статива и растојање играча од гол-линије.

Решење

Угао $\varphi$ код играча лежи наспрам гола: $\cos\varphi = \frac{20^2 + 17^2 - 7{,}32^2}{2 \cdot 20 \cdot 17} = \frac{635{,}42}{680} \approx 0{,}9344$ , па је $\varphi \approx 20{,}9^\circ$ .
Угао $\lambda$ код стативе $L$ лежи наспрам странице од 17 m: $\cos\lambda = \frac{20^2 + 7{,}32^2 - 17^2}{2 \cdot 20 \cdot 7{,}32} = \frac{164{,}58}{292{,}8} \approx 0{,}5621$ , па је $\lambda \approx 55{,}8^\circ$ .
Угао код стативе $D$ је $\delta \approx 180^\circ - 20{,}9^\circ - 55{,}8^\circ = 103{,}3^\circ$ : туп, наспрам најдуже странице, како и треба.
Растојање од гол-линије је висина троугла из положаја играча: $d = 20\sin\lambda \approx 20 \cdot 0{,}8271 \approx 16{,}5$ m.

Одговор: Играч види гол под углом од приближно $20{,}9^\circ$ , а од гол-линије је удаљен око 16,5 m.

Задатак за вежбу

У троуглу су $a = 3$ cm, $b = 5$ cm и $\gamma = 120^\circ$ . Израчунајте страницу $c$ и углове $\alpha$ и $\beta$ .

Прикажи решење

$c^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 49$ , па је $c = 7$ cm. $\sin\alpha = \frac{3\sin 120^\circ}{7} \approx 0{,}3712$ , а $\alpha$ је оштар јер је $a$ најкраћа страница: $\alpha \approx 21{,}8^\circ$ , $\beta \approx 180^\circ - 120^\circ - 21{,}8^\circ = 38{,}2^\circ$ .