Кореновање – решени задаци 2

Примена правила за кореновање на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6 Упростити дати израз:

$\left( {{x^n} \cdot {x^{\frac{1}{{n - 1}}}}} \right):{\left( {{x^{{n^2}}}} \right)^{\frac{1}{{n - 1}}}} =$

Пр.7 $x\sqrt {x\sqrt {{x^3}\sqrt x } } \cdot \sqrt[3]{{x\sqrt x }} =$

Пр.8 ${\left( {\sqrt[5]{{{a^2}{b^3}}}} \right)^8}:{\left( {\sqrt[5]{{{a^2}{b^3}}}} \right)^3} =$

Пр.9 $\sqrt {A + \sqrt B } =$

$\begin{aligned}&\sqrt {A + \sqrt B } = \sqrt {\frac{{A + \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} + \sqrt {\frac{{A - \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} \\ &A \geqslant 0 \\ &B \geqslant 0 \\ &{A^2} \geqslant B\end{aligned}$

Пр.6

$\begin{aligned}&\left( {{x^n} \cdot {x^{\frac{1}{{n - 1}}}}} \right):{\left( {{x^{{n^2}}}} \right)^{\frac{1}{{n - 1}}}} = {x^{n + \frac{1}{{n - 1}}}}:{x^{{n^2} \cdot \frac{1}{{n - 1}}}} = {x^{n + \frac{1}{{n - 1}} - }}^{{n^2} \cdot \frac{1}{{n - 1}}} = {x^{\frac{{n\left( {n - 1} \right) + 1 - {n^2}}}{{n - 1}}}} = \\ &= {x^{\frac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{n - 1}}}} = {x^{\frac{{ - \left( {n - 1} \right)}}{{n - 1}}}} = {x^{ - 1}} = \frac{1}{x} \\ &x \ne 0\end{aligned}$

Пр.7

$\begin{aligned}&x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt[3]{x}} } \cdot \sqrt[3]{{x\sqrt x }} = x\sqrt {x\sqrt {x{x^{\frac{1}{3}}}} } \cdot \sqrt[3]{{x{x^{\frac{1}{2}}}}} = x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{4}{3}}}} } \cdot \sqrt[3]{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = \\ &= x\sqrt {x{{\left( {{x^{\frac{4}{3}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \cdot {\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = x\sqrt {x{x^{\frac{2}{3}}}} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = x\sqrt {{x^{\frac{5}{3}}}} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = x{x^{\frac{5}{6}}} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = \\ &= {x^{1 + \frac{5}{6} + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{{14}}{6}}} = {x^{\frac{7}{3}}} = \sqrt[3]{{{x^7}}}\end{aligned}$

Пр.8 ${\left( {\sqrt[5]{{{a^2}{b^3}}}} \right)^8}:{\left( {\sqrt[5]{{{a^2}{b^3}}}} \right)^3} = {\left( {\sqrt[5]{{{a^2}{b^3}}}} \right)^5} = {a^2}{b^3}$

Пр.9

${\left. {\sqrt {A + \sqrt B } = \sqrt {\frac{{A + \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} + \sqrt {\frac{{A - \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} } \right|^2}$

${\left( {\sqrt {A + \sqrt B } } \right)^2} = {\left( {\sqrt {\frac{{A + \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} + \sqrt {\frac{{A - \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} } \right)^2}$

$\begin{aligned}&A + \sqrt B = {\left( {\sqrt {\frac{{A + \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} } \right)^2} + \\ &+ 2\left( {\sqrt {\frac{{A + \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} \sqrt {\frac{{A - \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} } \right) + {\left( {\sqrt {\frac{{A - \sqrt {{A^2} - B} }}{2}} } \right)^2} =\end{aligned}$

$\begin{aligned}&= \frac{{A + \sqrt {{A^2} - B} }}{2} + 2\sqrt {\frac{{\left( {A + \sqrt {{A^2} - B} } \right)\left( {A - \sqrt {{A^2} - B} } \right)}}{4}} + \\ &+ \frac{{A - \sqrt {{A^2} - B} }}{2} =\end{aligned}$

$= \frac{{A + \sqrt {{A^2} - B} + A - \sqrt {{A^2} - B} }}{2} + 2\sqrt {\frac{{{A^2} - {{\left( {\sqrt {{A^2} - B} } \right)}^2}}}{4}} =$

$= \frac{{2A}}{A} + 2\sqrt {\frac{{{A^2} - {A^2} - B}}{4}} = A + 2\frac{{\sqrt B }}{2} = A + \sqrt B$

Сложене изразе са коренима најлакше упрошћавате кад сваки корен препишете као степен: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$ . Кад је корен под кореном, рачунајте изнутра ка споља, од најдубљег корена, и после сваког корака напишите један степен: $\sqrt{x\sqrt x} = \left(x \cdot x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$ . Изложиоце сабирате при множењу, одузимате при дељењу и множите при степеновању, а резултат вратите у облик корена. Кад је изложилац општи број, на пример $\frac{1}{n - 1}$ , исто радите са алгебарским разломцима и наведите услове. За двоструки корен важи $\sqrt{A \pm \sqrt B} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$ , за $A \ge 0$ , $B \ge 0$ и $A^2 \ge B$ . Пре употребе формуле проверите услове. Формула се исплати кад је $A^2 - B$ потпун квадрат: $\sqrt{3 + 2\sqrt 2} = \sqrt{3 + \sqrt 8} = \sqrt 2 + 1$ .

Полупречник r20 cm

d, измерено: 10,35 cm
r · (√6 − √2) : 2: 10,35 cm

Прва вредност је растојање тачака 12 и 1 измерено на слици, а друга рачуната по упрошћеној формули

r \cdot \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{2}

. Увек се поклапају, јер је

\sqrt{2 - \sqrt 3} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{2} \approx 0{,}5176

.

Двоструки корени појављују се у тачним геометријским рачунима: растојање суседних бројева на бројчанику часовника, страница правилног дванаестоугла, износи $r\sqrt{2 - \sqrt 3}$ , а лакше се рачуна кад се двоструки корен упрости.

Бројчаник часовника

Столар прави зидни часовник. Бројеви од 1 до 12 су у теменима правилног дванаестоугла уписаног у круг полупречника $r = 20$ cm, па је растојање суседних бројева $d = r\sqrt{2 - \sqrt 3}$ . Упростите двоструки корен и израчунајте $d$ на десети део милиметра.

Решење

Ово је облик $\sqrt{A - \sqrt B}$ са $A = 2$ и $B = 3$ ; услови $A \ge 0$ , $B \ge 0$ и $A^2 \ge B$ важе, а $A^2 - B = 1$ је потпун квадрат.
По формули: $\sqrt{2 - \sqrt 3} = \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} - \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ .
Рационалишемо: $\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt 6}{2}$ и $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt 2}{2}$ , па је $\sqrt{2 - \sqrt 3} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{2}$ .
$d = 20 \cdot \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{2} = 10(\sqrt 6 - \sqrt 2) \approx 10 \cdot (2{,}4495 - 1{,}4142) \approx 10{,}35$ cm.

Одговор: Суседни бројеви су на растојању $10(\sqrt 6 - \sqrt 2) \approx 10{,}35$ cm, то јест 103,5 mm.

Задатак за вежбу

Упростите $\sqrt{x\sqrt[3]{x^2}} \cdot \sqrt[6]{x}$ за $x \ge 0$ .

Прикажи решење

$\sqrt{x \cdot x^{\frac{2}{3}}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = \left(x^{\frac{5}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x$ .