Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Свођење на први квадрант 2

Свођење вредности тригонометријских функција на први квадрант. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити следећи задатак.

пр.1)   sin⁡(π2+α)cos⁡(3π2−α)cos⁡(π+α)−sin⁡(2π−α)cos⁡(π2+α)sin⁡(2π+α)=\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\pi + \alpha } \right)}} - \frac{{\sin \left( {2\pi - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)}}{{\sin \left( {2\pi + \alpha } \right)}}=

пр.2)   sin⁡(π2−α)⋅cos⁡(α−3π2)tg2(α−π)⋅ctg(α−2π)=\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) \cdot \cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{t{g^2}\left( {\alpha - \pi } \right) \cdot ctg\left( {\alpha - 2\pi } \right)}}=

пр.3)   cos⁡3(270∘+α)−sin⁡3(α−3π2)1+cos⁡(α−3π2)sin⁡(α−90∘)−sin⁡(α−5π2)=\frac{{{{\cos }^3}\left( {{{270}^ \circ } + \alpha } \right) - {{\sin }^3}\left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{1 + \cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\sin \left( {\alpha - {{90}^ \circ }} \right)}} - \sin \left( {\alpha - \frac{{5\pi }}{2}} \right) =

Пр.1

sin⁡(π2+α)cos⁡(3π2−α)cos⁡(π+α)−sin⁡(2π−α)cos⁡(π2+α)sin⁡(2π+α)==cos⁡α(−sin⁡α)−cos⁡α−−sin⁡α(−sin⁡α)sin⁡α=0\begin{aligned}&\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\pi + \alpha } \right)}} - \frac{{\sin \left( {2\pi - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)}}{{\sin \left( {2\pi + \alpha } \right)}} = \\ &= \frac{{\cos \alpha \left( { - \sin \alpha } \right)}}{{ - \cos \alpha }} - \frac{{ - \sin \alpha \left( { - \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha }} = 0\end{aligned}

Пр.2

sin⁡(π2−α)⋅cos⁡(α−3π2)tg2(α−π)⋅ctg(α−2π)=cos⁡α(−sin⁡α)tg2α⋅ctgα==−cos⁡α⋅sin⁡αsin⁡2αcos⁡2α⋅cos⁡αsin⁡α=−cos⁡α⋅sin⁡αsin⁡αcos⁡α=−cos⁡2α⋅sin⁡αsin⁡α==−cos⁡2α\begin{aligned}&\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) \cdot \cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{t{g^2}\left( {\alpha - \pi } \right) \cdot ctg\left( {\alpha - 2\pi } \right)}} = \frac{{\cos \alpha \left( { - \sin \alpha } \right)}}{{t{g^2}\alpha \cdot ctg\alpha }} = \\ &= \frac{{ - \cos \alpha \cdot \sin \alpha }}{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{ - \cos \alpha \cdot \sin \alpha }}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{ - {{\cos }^2}\alpha \cdot \sin \alpha }}{{\sin \alpha }} = \\ &= - {\cos ^2}\alpha\end{aligned}

пр.3 

cos⁡3(270∘+α)−sin⁡3(α−3π2)1+cos⁡(α−3π2)sin⁡(α−90∘)−sin⁡(α−5π2)=\frac{{{{\cos }^3}\left( {{{270}^ \circ } + \alpha } \right) - {{\sin }^3}\left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{1 + \cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\sin \left( {\alpha - {{90}^ \circ }} \right)}} - \sin \left( {\alpha - \frac{{5\pi }}{2}} \right) =

=sin⁡3α−cos⁡3α1+(−sin⁡α)(−cos⁡α)−(−cosα)==sin⁡3α−cos⁡3α+cos⁡α+sin⁡α⋅cos⁡2α1+sin⁡α⋅cos⁡α==sin⁡α(sin⁡2α+cos⁡2α)+cos⁡α(1−cos⁡2α)1+sin⁡α⋅cos⁡α==sin⁡α+cos⁡αsin⁡2α1+sin⁡α⋅cos⁡α=sin⁡α(1+sin⁡α⋅cos⁡α)1+sin⁡α⋅cos⁡α=sin⁡α\begin{aligned}&= \frac{{{{\sin }^3}\alpha - {{\cos }^3}\alpha }}{{1 + \left( { - \sin \alpha } \right)\left( { - \cos \alpha } \right)}} - \left( { - cos\alpha } \right) = \\ &= \frac{{{{\sin }^3}\alpha - {{\cos }^3}\alpha + \cos \alpha + \sin \alpha \cdot {{\cos }^2}\alpha }}{{1 + \sin \alpha \cdot \cos \alpha }} = \\ &= \frac{{\sin \alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) + \cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{1 + \sin \alpha \cdot \cos \alpha }} = \\ &= \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha {{\sin }^2}\alpha }}{{1 + \sin \alpha \cdot \cos \alpha }} = \frac{{\sin \alpha \left( {1 + \sin \alpha \cdot \cos \alpha } \right)}}{{1 + \sin \alpha \cdot \cos \alpha }} = \sin \alpha\end{aligned}

Кад у изразу стоје углови π2±α\frac{\pi}{2} \pm \alpha, π±α\pi \pm \alpha, 3π2±α\frac{3\pi}{2} \pm \alpha или 2π±α2\pi \pm \alpha, сваку функцију сводите на функцију угла α\alpha по два правила. Прво: уз π\pi и 2π2\pi функција остаје иста, а уз π2\frac{\pi}{2} и 3π2\frac{3\pi}{2} прелази у кофункцију (sin⁡\sin у cos⁡\cos, tg⁡\operatorname{tg} у ctg⁡\operatorname{ctg} и обрнуто). Друго: знак је знак полазне функције у квадранту у ком би угао био кад би α\alpha био оштар.

Тако је cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha и sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha. Угао као α−3π2\alpha - \frac{3\pi}{2} прво средите парношћу: cos⁡(−x)=cos⁡x\cos (-x) = \cos x и sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin (-x) = -\sin x. После свођења израз се обично скрати на једну функцију или број.

αO1234
30°
Врх крила 1: 10 + 6 sin α
13 m
Врх крила 2: 10 + 6 cos α
15,2 m
Врх крила 3: 10 − 6 sin α
7 m
Врх крила 4: 10 − 6 cos α
4,8 m
Крило 2 је 90∘90^\circ испред крила 1, па је његов врх на висини 10+6cos⁡α10 + 6\cos \alpha, јер је sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin (90^\circ + \alpha) = \cos \alpha. Крила 3 и 4 су централно симетрична крилима 1 и 2, па им се висина разликује од 10 m за исти износ, али на другу страну.

Програми за цртање и игре ротацију за 90∘90^\circ рачунају свођењем: тачка (cos⁡α,sin⁡α)(\cos \alpha, \sin \alpha) прелази у (−sin⁡α,cos⁡α)(-\sin \alpha, \cos \alpha), па се положаји крила, лопатица или кракова под правим углом добијају без новог рачунања синуса.

Крила ветрењаче

Стара ветрењача у Војводини има четири крила дугачка 6 m, под правим углом једно према другом, а осовина им је на висини 10 m. Прво крило заклапа угао α=30∘\alpha = 30^\circ са хоризонталом. На којој висини су врхови сва четири крила?

Решење

  1. Врх крила под углом φ\varphi је на висини 10+6sin⁡φ10 + 6\sin \varphi, а крила су под угловима α\alpha, 90∘+α90^\circ + \alpha, 180∘+α180^\circ + \alpha и 270∘+α270^\circ + \alpha.
  2. Свођењем: sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin (90^\circ + \alpha) = \cos \alpha, sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α\sin (180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha и sin⁡(270∘+α)=−cos⁡α\sin (270^\circ + \alpha) = -\cos \alpha.
  3. За α=30∘\alpha = 30^\circ је sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2} и cos⁡α=32\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, па су висине 10+3=1310 + 3 = 13 m, 10+33≈15,210 + 3\sqrt{3} \approx 15{,}2 m, 10−3=710 - 3 = 7 m и 10−33≈4,810 - 3\sqrt{3} \approx 4{,}8 m.

Одговор: Врхови крила су на висинама од 13 m, око 15,2 m, 7 m и око 4,8 m.

Задатак за вежбу

Упростите израз sin⁡(π−α)⋅cos⁡(π2−α)cos⁡(π+α)⋅tg⁡(2π−α)\frac{\sin (\pi - \alpha) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)}{\cos (\pi + \alpha) \cdot \operatorname{tg} (2\pi - \alpha)}.

Прикажи решење

Бројилац је sin⁡α⋅sin⁡α\sin \alpha \cdot \sin \alpha, а именилац (−cos⁡α)⋅(−tg⁡α)=sin⁡α(-\cos \alpha) \cdot (-\operatorname{tg} \alpha) = \sin \alpha, па је израз једнак sin⁡α\sin \alpha.