Тригонометријске функције двоструког угла 1

Тригонометријске функције двоструког угла. Примена на једноставне примере.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Доказати следећу једнакост:

Пр.1

${\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}$

Пр.2

$\sin 2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 + t{g^2}\alpha }}$

Пр.3

$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4{\sin ^3}\alpha$

Упростити селедећи израз:

Пр.4

$\cos 4\alpha + 2{\sin ^2}2\alpha =$

Пр.1

$\begin{aligned}&{\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} \\ &{\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)}}{2} \\ &{\sin ^2}\alpha = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{2} \\ &{\sin ^2}\alpha = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{2} \\ &{\sin ^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha\end{aligned}$

Пр.2

$\begin{aligned}&\sin 2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 + t{g^2}\alpha }} \\ &2\sin \alpha cos\alpha = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} \\ &2\sin \alpha cos\alpha = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} \\ &2\sin \alpha cos\alpha = 2\sin \alpha cos\alpha\end{aligned}$

Пр.3

$\begin{aligned}&\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4{\sin ^3}\alpha \\ &\sin 3\alpha = \sin \left( {\alpha + 2\alpha } \right) = \sin \alpha \cdot \cos 2\alpha + \cos \alpha \cdot \sin 2\alpha = \\ &= \sin \alpha \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right) + \cos \alpha \cdot 2\sin \alpha \cos \alpha = \\ &= \sin \alpha {\cos ^2}\alpha - {\sin ^3}\alpha + 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha = \\ &= 3\sin \alpha {\cos ^2}\alpha - {\sin ^3}\alpha = 3\sin \alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) - {\sin ^3}\alpha = \\ &= 3\sin \alpha - 3{\sin ^3}\alpha - {\sin ^3}\alpha = 3\sin \alpha - 4{\sin ^3}\alpha\end{aligned}$

Пр.4

$\begin{aligned}&\cos 4\alpha + 2{\sin ^2}2\alpha = \cos \left( {2 \cdot 2\alpha } \right) + 2{\left( {2\sin \alpha \cos \alpha } \right)^2} = \\ &= {\cos ^2}2\alpha - {\sin ^2}2\alpha + 2 \cdot 4{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \\ &= {\left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} - {\left( {2\sin \alpha \cos \alpha } \right)^2} + 8{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \\ &= {\cos ^4}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha - 4{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + 8{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \\ &= {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha = \\ &= {\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1\end{aligned}$

Формуле двоструког угла добијате из адиционих формула кад ставите $\beta = \alpha$ : $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ , $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ и $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$ . Косинус двоструког угла има још два облика, која се добијају помоћу $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ : $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ . Из њих следи често коришћена формула $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ , која квадрат претвара у први степен.

Кад је познат само тангенс, синус двоструког угла рачунате као $\sin 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}$ . Истим поступком, писањем $3\alpha = 2\alpha + \alpha$ , изводите и троструки угао: $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ . Идентитет доказујете тако што сложенију страну трансформишете док не добијете другу. Формуле важе за сваки угао, па и за $2\alpha$ уместо $\alpha$ : $\cos 4\alpha = 1 - 2\sin^2 2\alpha$ . Честа грешка: $\sin 2\alpha$ није $2\sin \alpha$ .

Нагиб млаза tg α0,75

Угао млаза α: 36,9°
sin 2α: 0,96
2 tg α : (1 + tg²α): 0,96
Домет D: 9,79 m

Нагиб млаза задајете тангенсом угла. Домет зависи од

\sin 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}

, па је највећи за

\operatorname{tg} \alpha = 1

, тј.

\alpha = 45^\circ

. Нагиби

0{,}5

и

2

припадају угловима

\alpha

и

90^\circ - \alpha

и дају исти домет.

Домет млаза воде или бачене лопте без отпора ваздуха је $D = \frac{v^2 \sin 2\alpha}{g}$ , па инжењери који пројектују прскалице за наводњавање помоћу формуле двоструког угла бирају угао под којим вода излази.

Прскалица у башти

Вода излази из прскалице у башти брзином 10 m/s, под углом $\alpha$ према тлу за који је $\operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4}$ . Домет млаза на равном тлу, без отпора ваздуха, је $D = \frac{v^2 \sin 2\alpha}{g}$ , где је $g \approx 9{,}81$ m/s². Колико далеко пада вода?

Решење

Угао је оштар и $\operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4}$ , па из правоуглог троугла са катетама 3 и 4 и хипотенузом 5 следи $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ .
$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} = 0{,}96$ .
$D = \frac{10^2 \cdot 0{,}96}{9{,}81} = \frac{96}{9{,}81} \approx 9{,}79$ m.
Највећи домет био би за $2\alpha = 90^\circ$ , тј. $\alpha = 45^\circ$ : $\frac{100}{9{,}81} \approx 10{,}19$ m.

Одговор: Млаз пада око 9,8 m од прскалице.

Задатак за вежбу

Ако је $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ и $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ , израчунајте $\sin 2\alpha$ , $\cos 2\alpha$ и $\operatorname{tg} 2\alpha$ .

Прикажи решење

$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ , па је $\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$ , $\cos 2\alpha = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$ и $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{24}{7}$ .