Квадратне једначине – знак решења 2

Одређивање знака решења квадратне једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.3) Одреди реалан параметар $m$ тако да решења квадратне једначине

${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m = 0$ буду негативна.

Пр.3 За оваj задатак jе потребно:

$D \geqslant 0$
${x_1} \cdot {x_2} > 0$
${x_1} + {x_2} < 0$

$\begin{aligned}&D = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2\left( {m - 1} \right)} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 4m} \right) = 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 16m = \\ &= 4\left( {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 4m} \right) = 4\left( {{m^2} - 2m + 1 + 4m} \right) = 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) = \\ &= 4{\left( {m + 1} \right)^2} \\ &D \geqslant 0 \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} \geqslant 0,\forall m \in R \\ & \\ &{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 4m}}{1} = - 4m \\ &{x_1} \cdot {x_2} > 0 \Leftrightarrow - 4m > 0 \Rightarrow m < 0 \\ & \\ &{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{1} = 2\left( {m - 1} \right) \\ &{x_1} + {x_2} < 0 \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) < 0 \Rightarrow m < 1\end{aligned}$

И коначно jе потребно наћи пресек ове три решења:

$m \in \left( { - \infty ,0} \right)$

У задацима са параметром услове за знак решења постављате пре решавања. Оба решења су позитивна ако је $D \geqslant 0$ , $x_1 \cdot x_2 > 0$ и $x_1 + x_2 > 0$ , а оба негативна ако је $D \geqslant 0$ , $x_1 \cdot x_2 > 0$ и $x_1 + x_2 < 0$ . Решења су супротног знака кад је $x_1 \cdot x_2 < 0$ , јер је тада $D$ сигурно позитивна. Ако се траже два различита решења, пишите $D > 0$ . Сваки услов решите као неједначину по параметру, па нађите пресек, најлакше на бројевној правој. Корисно је дискриминанту средити до квадрата: ако је $D = (m - 3)^2$ , она је ненегативна за свако $m$ . Ако коефицијент $a$ зависи од параметра, посебно испитајте $a = 0$ .

Висина камере15 m

D: 100
t₁: 1 s
t₂: 3 s

Права

h = H

сече путању лопте у тренуцима

t_1

и

t_2

. Док је

0 < H < 20

, оба тренутка су позитивна, а њихов збир је увек 4 s. За

H = 20

решења се спајају (

D = 0

): то је највиша тачка путање, па изнад ње пресека више нема.

Задаци са параметром одговарају на питање при којим подешавањима модел има смислена решења, на пример на којој висини треба поставити камеру или сензор да би га лопта у лету прошла два пута, при пењању и при паду.

Камера поред путање лопте

Лопта је бачена увис са тла брзином 20 m/s, па је њена висина после $t$ секунди $h(t) = 20t - 5t^2$ метара. На којим висинама $H$ треба поставити камеру да би лопта прошла поред ње два пута, у два различита тренутка после бацања?

Решење

Лопта је на висини $H$ кад је $20t - 5t^2 = H$ , односно $5t^2 - 20t + H = 0$ . Тражимо два различита позитивна решења.
Два различита решења: $D = 400 - 20H > 0$ , па је $H < 20$ .
Оба позитивна: из $t_1 \cdot t_2 = \frac{H}{5} > 0$ следи $H > 0$ , а $t_1 + t_2 = \frac{20}{5} = 4 > 0$ важи за свако $H$ .
Пресек услова је $0 < H < 20$ . За $H = 20$ је $D = 0$ : лопта је у висини камере само једном, у највишој тачки путање, у $t = 2$ s.

Одговор: Камера треба да буде на висини већој од 0 m, а мањој од 20 m.

Задатак за вежбу

Одредите реалан параметар $m$ тако да оба решења једначине $x^2 + 2mx + m + 6 = 0$ буду негативна.

Прикажи решење

$D = 4m^2 - 4(m + 6) = 4(m - 3)(m + 2) \geqslant 0$ даје $m \leqslant -2$ или $m \geqslant 3$ ; $x_1 x_2 = m + 6 > 0$ даје $m > -6$ ; $x_1 + x_2 = -2m < 0$ даје $m > 0$ . Пресек је $m \in [3, +\infty)$ .