Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Адиционе формуле 2

Адиционе формуле. Примена на сложеније примере.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5 Одредити cos⁡(17π3−α)=\cos \left( {\frac{{17\pi }}{3} - \alpha } \right)= ако jе tgα=−43,α∈(3π2,2π)tg\alpha = - \frac{4}{3},\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2},2\pi } \right)

Пр.6 Ако  jе tgα=2+12−1,tgβ=12,tg\alpha = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 - 1}},tg\beta = \frac{1}{{\sqrt 2 }}, и α,β∈(0,π2),\alpha ,\beta \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right), доказати да jе α−β=π4\alpha - \beta = \frac{\pi }{4}

Пр.5

cos⁡(17π3−α)=cos⁡17π3⋅cos⁡α−sin⁡17π3⋅sin⁡α17π3=5π+23πsin⁡17π3=−32,cos⁡17π3=12tgα=−43sin⁡αcos⁡α=−43sin⁡α=−43⋅cos⁡αsin⁡2α+cos⁡2α=1(−43⋅cos⁡α)2+cos⁡2α=1169cos⁡2α+cos⁡2α=1cos⁡2α(169+1)=1cos⁡2α⋅259=1∣⋅925cos⁡2α=925cos⁡α=±35α∈(3π2,2π)⇒cos⁡α=35sin⁡α=−43⋅35=−45cos⁡(17π3−α)=cos⁡17π3⋅cos⁡α−sin⁡17π3⋅sin⁡α==12⋅35+(−32)⋅(−45)=310+4310=3+4310\begin{aligned}&\cos \left( {\frac{{17\pi }}{3} - \alpha } \right) = \cos \frac{{17\pi }}{3} \cdot \cos \alpha - \sin \frac{{17\pi }}{3} \cdot \sin \alpha \\ &\frac{{17\pi }}{3} = 5\pi + \frac{2}{3}\pi \\ &\sin \frac{{17\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2},\cos \frac{{17\pi }}{3} = \frac{1}{2} \\ &tg\alpha = - \frac{4}{3} \\ &\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{4}{3} \\ &\sin \alpha = - \frac{4}{3} \cdot \cos \alpha \\ &{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\left( { - \frac{4}{3} \cdot \cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &\frac{{16}}{9}{\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\cos ^2}\alpha \left( {\frac{{16}}{9} + 1} \right) = 1 \\ &{\cos ^2}\alpha \cdot \frac{{25}}{9} = 1\left| { \cdot \frac{9}{{25}}} \right. \\ &{\cos ^2}\alpha = \frac{9}{{25}} \\ &\cos \alpha = \pm \frac{3}{5} \\ &\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2},2\pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5} \\ &\sin \alpha = - \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = - \frac{4}{5} \\ &\cos \left( {\frac{{17\pi }}{3} - \alpha } \right) = \cos \frac{{17\pi }}{3} \cdot \cos \alpha - \sin \frac{{17\pi }}{3} \cdot \sin \alpha = \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot \left( { - \frac{4}{5}} \right) = \frac{3}{{10}} + \frac{{4\sqrt 3 }}{{10}} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\end{aligned}

Пр.6

Нека jе α−β=π4\alpha - \beta = \frac{\pi }{4} онда  jе

tg(α−β)=tgπ4tg(α−β)=1tgα−tgβ1+tgαtgβ=12+12−1−121+2+12−1⋅12=12(2+1)−(2−1)2(2−1)1+2+12(2−1)=12+2−2+12(2−1)2(2−1)+2+12(2−1)=132−2+2+1=133=1\begin{aligned}&tg\left( {\alpha - \beta } \right) = tg\frac{\pi }{4} \\ &tg\left( {\alpha - \beta } \right) = 1 \\ &\frac{{tg\alpha - tg\beta }}{{1 + tg\alpha tg\beta }} = 1 \\ &\frac{{\frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 - 1}} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 - 1}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = 1 \\ &\frac{{\frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}}} = 1 \\ &\frac{{\frac{{2 + \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}}}{{\frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + \sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}}} = 1 \\ &\frac{3}{{2 - \sqrt 2 + \sqrt 2 + 1}} = 1 \\ &\frac{3}{3} = 1\end{aligned}

 дошли смо до таутологиjе. Онда  jе α−β=π4\alpha - \beta = \frac{\pi }{4} 

У сложенијим задацима адиционе формуле комбинујете са свођењем на први квадрант и основним идентитетима. Поступак је увек исти: из датих података израчунајте синус и косинус сваког угла, са знаком из квадранта у ком је угао, па их уврстите у формулу. На пример, за cos⁡(17π3−α)\cos \left(\frac{17\pi}{3} - \alpha\right), кад је tg⁡α=−43\operatorname{tg} \alpha = -\frac{4}{3} и α∈(3π2,2π)\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right), из идентитета добијате cos⁡α=35\cos \alpha = \frac{3}{5} и sin⁡α=−45\sin \alpha = -\frac{4}{5}. Угао 17π3=6π−π3\frac{17\pi}{3} = 6\pi - \frac{\pi}{3} сведите на −π3-\frac{\pi}{3} и примените cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y.

Кад треба доказати да је разлика два угла једнака датом углу, израчунајте тангенс разлике, tg⁡(α−β)=tg⁡α−tg⁡β1+tg⁡αtg⁡β\operatorname{tg} (\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}, па из интервала у ком је α−β\alpha - \beta закључите о ком се углу ради. Пазите: код косинуса разлике стоји плус.

φплакатd = 4 mоко
4 m
Видни угао φ
22,8°
tg φ
0,421
Видни угао није највећи кад стојите уз сам зид: највећи је на растојању d=3≈1,7d = \sqrt{3} \approx 1{,}7 m, где је φ=30∘\varphi = 30^\circ. На 4 m добијате tg⁡φ=819\operatorname{tg} \varphi = \frac{8}{19}.

Формулом за tg⁡(α−β)\operatorname{tg} (\alpha - \beta) рачуна се видни угао: под којим углом гледалац види платно у биоскопу, плакат на зиду или гол са неког места на терену, што архитекте узимају у обзир при распореду седишта у сали.

Плакат на зиду

У школском ходнику плакат је окачен тако да му је доња ивица 1 m, а горња 3 m изнад нивоа очију ученика. Ученик стоји 4 m од зида. Под којим углом види плакат?

Решење

  1. Нека је α\alpha угао под којим ученик види горњу ивицу, а β\beta угао под којим види доњу, мерено од хоризонтале: tg⁡α=34\operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4} и tg⁡β=14\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{4}.
  2. Видни угао је φ=α−β\varphi = \alpha - \beta, па је tg⁡φ=34−141+34⋅14=121916=819\operatorname{tg} \varphi = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{19}{16}} = \frac{8}{19}.
  3. Оба угла су оштра и α>β\alpha > \beta, па је 0<φ<90∘0 < \varphi < 90^\circ и φ=arctg⁡819≈22,8∘\varphi = \operatorname{arctg} \frac{8}{19} \approx 22{,}8^\circ.

Одговор: Ученик види плакат под углом од око 22,8∘22{,}8^\circ.

Задатак за вежбу

Ако је sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5} и α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), израчунајте sin⁡(α+π6)\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right).

Прикажи решење

У другом квадранту cos⁡α=−45\cos \alpha = -\frac{4}{5}, па је sin⁡(α+π6)=35⋅32−45⋅12=33−410\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3} - 4}{10}.