Квадратна једначина – природа решења

Дискриминанта. Природа решења квадратне једначине.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5 Не решавајући једначину одредити природу решења.

$2{x^2} - x + 5 = 0$

Пр.6 Одредити реалан патаметар $m$ тако да решења једначине

${x^2} - 3x + 2m - 7 = 0$ буду реална и различита.

Пр.7 За које вредности реалног параметра $m$ квадратна једначина

$\left( {2m + 1} \right){x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m - 3 = 0$ има двострука

реална решења.

Пр.5

$\begin{aligned}&2{x^2} - x + 5 = 0 \\ &D = {b^2} - 4ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = - 39 \\ &D < 0\end{aligned}$

Онда решења квадратне једначине јесу конјуговано комплексни бороjеви.

Пр.6

Решења једначине ${x^2} - 3x + 2m - 7 = 0$ су реални и различити у случаjу да jе D>0.

$\begin{aligned}&D = {b^2} - 4ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( {2m - 7} \right) = 9 - 8m + 28 = 37 - 8m \\ &37 - 8m > 0 \\ &- 8m > - 37 \\ &m < \frac{{37}}{8}\end{aligned}$

Пр.7

Ова једначина $\left( {2m + 1} \right){x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m - 3 = 0$ има двоструко реално решење ако jе D=0.

$\begin{aligned}&D = {b^2} - 4ac = {\left( { - \left( {m + 2} \right)} \right)^2} - 4\left( {2m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) = \\ &= {m^2} + 4m + 4 - 4\left( {2{m^2} - 6m + m - 3} \right) = \\ &= {m^2} + 4m + 4 - 8{m^2} + 24m - 4m + 12 = \\ &= - 7{m^2} + 24m + 16 = 0 \\ &{m_{1,2}} = \frac{{ - 24 \pm \sqrt {576 + 448} }}{{ - 14}} \\ &{m_{1,2}} = \frac{{ - 24 \pm 32}}{{ - 14}} \\ &{m_1} = 4,{m_2} = - \frac{4}{7}\end{aligned}$

Природу решења квадратне једначине $ax^2 + bx + c = 0$ одређујете без решавања, само из дискриминанте $D = b^2 - 4ac$ . Ако је $D > 0$ , решења су реална и различита. Ако је $D = 0$ , решење је реално и двоструко, $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$ . Ако је $D < 0$ , решења су конјуговано комплексна.

Кад коефицијенти зависе од параметра $m$ , и $D$ је израз са $m$ : услов „реална и различита“ даје неједначину $D > 0$ , „двострука“ једначину $D = 0$ , а „комплексна“ неједначину $D < 0$ . Ако параметар стоји уз $x^2$ , проверите и да није $a = 0$ , јер тада једначина није квадратна. Пазите на знак: $b^2$ је увек ненегативно, па је $(-3)^2 = 9$ .

Површина P96 m²

D = 400 − 4P: 16
Број реалних решења: 2

Плава крива показује површину

x(20 - x)

за страницу

x

. Права на висини

P

сече криву у две тачке док је

D = 400 - 4P > 0

, додирује је у темену за

P = 100

, а изнад тога је не сече: решења нису реална.

Дискриминанта унапред казује да ли задатак уопште има решење: да ли пројектил достиже задату висину, да ли права сече параболу или да ли се од задатог материјала може направити правоугаоник задате површине.

Ограда за башту

Баштован има 40 m жичане ограде и жели да огради правоугаону башту површине $P$ . За које површине је то могуће? Може ли башта да има 120 m², а може ли 96 m²?

Решење

Ако је једна страница $x$ , друга је $20 - x$ (полуобим је 20 m), па је $x(20 - x) = P$ , тј. $x^2 - 20x + P = 0$ .
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot P = 400 - 4P$ .
Реална решења постоје за $D \ge 0$ , тј. $P \le 100$ . За $P = 100$ је $D = 0$ и решење је двоструко, $x = 10$ : башта је квадрат.
За $P = 120$ : $D = 400 - 480 = -80 < 0$ , решења су комплексна, такве баште нема. За $P = 96$ : $D = 400 - 384 = 16 > 0$ , па су странице $\frac{20 \pm 4}{2}$ , то јест 12 m и 8 m.

Одговор: Ограда је довољна за сваку површину до 100 m²: башта од 120 m² није могућа, а башта од 96 m² има странице 12 m и 8 m.

Задатак за вежбу

За које вредности параметра $m$ једначина $x^2 + 6x + m - 1 = 0$ има двоструко решење, а за које су решења конјуговано комплексна?

Прикажи решење

$D = 36 - 4(m - 1) = 40 - 4m$ . Двоструко решење за $D = 0$ , тј. $m = 10$ (тада $x = -3$ ). Комплексна решења за $D < 0$ , тј. $m > 10$ .