Логаритамске једначине 5

Логаритми. Логаритамске једначине. Сложени примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску једначину.

пр.11) ${2^{2\lg 4x - 1}} - {7^{\lg 4x}} = {7^{\lg 4x - 1}} - 3 \cdot {4^{\lg 4x}}$

пр.12) ${x^{\lg x}} = 1000{x^2}$

Пр.11

$\begin{aligned}&{2^{2\lg 4x - 1}} - {7^{\lg 4x}} = {7^{\lg 4x - 1}} - 3 \cdot {4^{\lg 4x}} \\ &4x > 0 \Rightarrow x > 0 \\ &{2^{2\lg 4x - 1}} + 3 \cdot {4^{\lg 4x}} = {7^{\lg 4x - 1}} + {7^{\lg 4x}} \\ &{2^{2\lg 4x}} \cdot {2^{ - 1}} + 3 \cdot {2^{2\lg 4x}} = {7^{\lg 4x}} \cdot {7^{ - 1}} + {7^{\lg 4x}} \\ &{2^{2\lg 4x}} \cdot \left( {{2^{ - 1}} + 3} \right) = {7^{\lg 4x}} \cdot \left( {{7^{ - 1}} + 1} \right) \\ &{2^{2\lg 4x}} \cdot \left( {\frac{7}{2}} \right) = {7^{\lg 4x}} \cdot \left( {\frac{8}{7}} \right)\left| { \div {7^{\lg 4x}}} \right. \\ &\frac{{{2^{2\lg 4x}}}}{{{7^{\lg 4x}}}} \cdot \left( {\frac{7}{2}} \right) = \left( {\frac{8}{7}} \right)\left| { \cdot \frac{2}{7}} \right. \\ &\frac{{{2^{2\lg 4x}}}}{{{7^{\lg 4x}}}} = \frac{8}{7} \cdot \frac{2}{7} \\ &\frac{{{4^{\lg 4x}}}}{{{7^{\lg 4x}}}} = \frac{{16}}{{49}} \\ &{\left( {\frac{4}{7}} \right)^{\lg 4x}} = {\left( {\frac{4}{7}} \right)^2} \\ &\lg 4x = 2 \\ &4x = {10^2} \\ &4x = 100 \\ &x = 25\end{aligned}$

Пр.12

$\begin{aligned}&{x^{\lg x}} = 1000{x^2} \\ &x > 0 \\ &\lg {x^{\lg x}} = \lg 1000{x^2} \\ &\lg x \cdot \lg x = \lg 1000 + \lg {x^2} \\ &{\left( {\lg x} \right)^2} = \lg {10^3} + \lg {x^2} \\ &{\left( {\lg x} \right)^2} = 3 + 2\lg x \\ &смена:\lg x = t \\ &{t^2} - 2t - 3 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{2 \pm \sqrt {4 + 12} }}{2} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{2 \pm 4}}{2} \\ &{t_1} = - 1,{t_2} = 3 \\ &\lg x = - 1;\lg x = 3 \\ & \\ &\lg x = - 1 \\ &x = {10^{ - 1}} = \frac{1}{{10}} \\ & \\ &\lg x = 3 \\ &x = {10^3} = 1000 \\ &x = \left\{ {\frac{1}{{10}};1000} \right\}\end{aligned}$

Кад је непозната и у основи и у изложиоцу, као у $x^{\lg x} = 1000x^2$ , логаритмујте обе стране једначине. Из $\lg x^{\lg x} = \lg (1000x^2)$ добијате $(\lg x)^2 = 3 + 2\lg x$ , а смена $t = \lg x$ даје квадратну једначину. Услов је $x > 0$ , јер се $x$ логаритмује, а логаритмовати смете само једнакост позитивних израза.

Ако у изложиоцима стоји $\lg 4x$ , степене са истом основом пребаците на исту страну, издвојите заједнички чинилац, па поделите тако да остане $\left(\frac{a}{b}\right)^{u} = \left(\frac{a}{b}\right)^{k}$ ; одатле је $u = k$ . Истим поступком решавате и најпростију експоненцијалну једначину $a^x = b$ : логаритмовањем добијате $x = \frac{\lg b}{\lg a}$ . Честа грешка: $\lg (1000x^2)$ није $3 \cdot 2\lg x$ , већ $3 + 2\lg x$ .

Годишња камата p4%

Решење једначине n: 10,34 год.
Пуних година до 300.000 дин.: 11

Крива показује стање рачуна у хиљадама динара, а пресек са правом 300 даје

n = \frac{\lg 1{,}5}{\lg \left(1 + \frac{p}{100}\right)}

. Двоструко већа камата скоро преполови време.

Банке и штедише логаритмовањем рачунају колико година треба да уштеђевина уз сложену камату достигне жељени износ; исто тако се рачуна време за које се количина лека у крви преполови.

Орочена штедња

Марија у банци у Новом Саду орочи 200.000 динара уз годишњу камату од 4%, која се на крају сваке године припише главници. После колико година ће на рачуну бити бар 300.000 динара?

Решење

После $n$ година на рачуну је $200\,000 \cdot 1{,}04^n$ динара. Решавамо $200\,000 \cdot 1{,}04^n = 300\,000$ , тј. $1{,}04^n = 1{,}5$ .
Логаритмујемо обе стране: $\lg 1{,}04^n = \lg 1{,}5$ , тј. $n \lg 1{,}04 = \lg 1{,}5$ .
$n = \frac{\lg 1{,}5}{\lg 1{,}04} \approx \frac{0{,}17609}{0{,}01703} \approx 10{,}34$ .
Камата се приписује једном годишње, па после 10 година још нема довољно ( $200\,000 \cdot 1{,}04^{10} \approx 296\,049$ динара), а после 11 година има ( $\approx 307\,891$ динар).

Одговор: На рачуну ће бити бар 300.000 динара после 11 година.

Задатак за вежбу

Решите једначину $x^{\lg x} = 100x$ .

Прикажи решење

Услов $x > 0$ . Логаритмовањем: $(\lg x)^2 = 2 + \lg x$ . Смена $t = \lg x$ даје $t^2 - t - 2 = 0$ , $t = 2$ или $t = -1$ , па је $x = 100$ или $x = \frac{1}{10}$ .