Експоненцијалне неједначине 3

Решавање експоненцијалне неједначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијалну неједначину.

пр.8) ${4^{1 - {x^2}}} + {2^{2 - {x^2}}} > 3$

пр.9) $7 \cdot {3^{x + 1}} - {5^{x + 2}} < {3^{x + 4}} - {5^{x - 3}}$

Неједначине са степенима различитих основа решавају се као одговарајуће једначине. Групишите чланове исте основе, извуците $a^x$ и $b^x$ и поделите позитивним изразом, па добијате $\left(\frac{a}{b}\right)^x > q$ (или $<$ ). Ако делите негативним бројем, знак се окреће. Затим $q$ запишите као степен основе $\frac{a}{b}$ : ако је $\frac{a}{b} > 1$ , знак остаје, а ако је $\frac{a}{b} < 1$ , окреће се. Кад се у изложиоцу појави $x^2$ , као у $4^{1 - x^2}$ , смена $t = 2^{-x^2}$ има ограничење $0 < t \leqslant 1$ , јер је $-x^2 \leqslant 0$ ; њега пресеците са решењем неједначине по $t$ . Честа грешка је заборавити то ограничење.

Обод сада8 мил.

Центар сада18 мил.

Пресек (у деценијама): 2
Вредност тада: 72 мил. дин.

Плава крива је вредност плацева на ободу (

A \cdot 3^n

), љубичаста у центру (

B \cdot 2^n

). Осенчено је где су плацеви на ободу вреднији: десно од пресека, у ком је

\left(\frac{3}{2}\right)^n = \frac{B}{A}

.

Тако се одређује од ког тренутка величина која брже расте престиже ону која је почела са више, на пример вредност некретнина у два дела града или број корисника две мреже.

Плацеви у граду

Породица има два плаца у центру града, вредна 8 и 10 милиона динара, и два плаца на ободу града, вредна 3 и 5 милиона динара. Претпоставимо да се вредност плацева у центру удвостручи, а на ободу утростручи сваких 10 година. После колико деценија ће плацеви на ободу вредети више од плацева у центру?

Решење

После $n$ деценија, у милионима динара: $(3 + 5) \cdot 3^n > (8 + 10) \cdot 2^n$ , тј. $8 \cdot 3^n > 18 \cdot 2^n$ .
Делимо са $8 \cdot 2^n > 0$ , знак остаје: $\left(\frac{3}{2}\right)^n > \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$ .
Пошто је $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$ и основа $\frac{3}{2} > 1$ , знак остаје: $n > 2$ .
Провера: после 2 деценије обе групе вреде по 72 милиона, а после 3 деценије 216 према 144 милиона динара.

Одговор: Плацеви на ободу вредеће више од плацева у центру кад прође више од 20 година.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $2^{x + 1} + 2^x < 3^{x + 1} - 3^x$ .

Прикажи решење

Групишемо: $3 \cdot 2^x < 2 \cdot 3^x$ . Делимо са $2 \cdot 2^x > 0$ : $\left(\frac{3}{2}\right)^x > \frac{3}{2}$ , а основа је већа од 1, па је $x > 1$ .