Квадратна неједначина 3

Квадратна неједначина. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.7) Решити следећу квадратну нјејдначину:

$\frac{{1 - x}}{x} \leqslant \frac{{2 - x}}{{x - 1}}$

пр.8) Решити следећу неједначину:

$- 2 < \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 4}} \leqslant 1$

Кад су разломци са непознатом на обе стране неједначине, пребаците све на једну страну и сведите на заједнички именилац. Добијате облик $\frac{P(x)}{Q(x)} \leqslant 0$ (или са другим знаком), где бројилац и именилац растављате на линеарне чиниоце. Знак количника читате из табеле знакова, а нуле имениоца искључујете из решења. Квадратни чинилац са $D < 0$ не мења знак, па га у табели замените његовим знаком. Двострука неједначина $m < \frac{P(x)}{Q(x)} \leqslant n$ је систем две неједначине: решите сваку посебно и узмите пресек решења. Честа грешка је помножити обе стране имениоцем непознатог знака.

Граница13 хиљ. дин.

Најмање столица: 30
Највише столица: 80

Крива је просечан трошак по столици у хиљадама динара,

\frac{x^2 + 20x + 2400}{10x}

. Решења су бројеви

x

између два пресека са правом. Најмањи просечни трошак је око 11.800 динара, при 49 столица: за нижу границу решења нема.

Тако се одређује распон производње у ком просечан трошак по комаду остаје испод задате границе, кад укупни трошак расте брже од броја комада, на пример због прековременог рада.

Столице из радионице

Столарска радионица у Ивањици недељно прави $x$ столица, а укупан трошак је $x^2 + 20x + 2400$ стотина динара. Колико столица недељно треба да прави да просечан трошак по столици не пређе 13.000 динара?

Решење

Просечан трошак у стотинама динара је $\frac{x^2 + 20x + 2400}{x}$ , а 13.000 динара је 130 стотина, па решавамо $\frac{x^2 + 20x + 2400}{x} \leqslant 130$ .
Пребацимо 130 на леву страну: $\frac{x^2 + 20x + 2400 - 130x}{x} \leqslant 0$ , односно $\frac{x^2 - 110x + 2400}{x} \leqslant 0$ .
Нуле бројиоца: $D = 12\,100 - 9600 = 2500$ , $x = \frac{110 \pm 50}{2}$ , тј. $30$ и $80$ , па је бројилац $(x - 30)(x - 80)$ .
Именилац $x$ је позитиван, јер је број столица природан, па мора бити $(x - 30)(x - 80) \leqslant 0$ , тј. $30 \leqslant x \leqslant 80$ .

Одговор: Радионица треба да прави од 30 до 80 столица недељно; тада просечан трошак није већи од 13.000 динара.

Задатак за вежбу

Решите двоструку неједначину $0 < \frac{x^2 - 4}{x} < 3$ .

Прикажи решење

Из $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x} > 0$ следи $x \in (-2, 0) \cup (2, +\infty)$ , а из $\frac{x^2 - 3x - 4}{x} = \frac{(x - 4)(x + 1)}{x} < 0$ следи $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 4)$ . Пресек је $x \in (-2, -1) \cup (2, 4)$ .