Квадратна функција 4

Квадратна функција. Испитивање квадратне функције. Домен, нуле,теме, оса симетрије, кодомен, знак, монотоност. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.2) Испитати функцију:

$f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3$

пр.3) Испитати функцију:

$f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^2} - 2x - 6$

Пр.2 Испитиваћемо функцију: $f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3$ .

Домен функције - простирање функције дуж $x -$ осе $Df:R$
Нуле функције - тачке пресека са $x -$ осом $(y=0)$ $\begin{aligned}&- {x^2} + 2x + 3 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot 3} }}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} \\ &{x_1} = 3 \\ &{x_2} = - 1 \\ &A\left( {3;0} \right),B\left( { - 1;0} \right)\end{aligned}$ Одмах те тачке уцртаћемо на графику.
Пресек са $y -$ осом. За $x=0$ je $y=3$ . Добићемо тачку $C\left( {0;3} \right)$
Одредимо теме параболе тачку $T\left( {\alpha ,\beta } \right)$ $\begin{aligned}&\alpha = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{ - 2}} = 1 \\ &\beta = \frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}} = \frac{{ - {2^2} + 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot 3}}{{4 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - 4 - 12}}{{ - 4}} = 4 \\ &T\left( {1;4} \right)\end{aligned}$ Добили смо jош jедну тачку. Повезуемо све ове тачке.
Оса симетриjе jе права у односу на коjу график jе симетричан. Ова права имаће једнакост $x=\alpha$ или $x = 1$ .
Кодомен функције - простирање функције дуж $y -$ осе. $\overline {Df} :y \in \left( { - \infty ,4} \right]$
Знак функције $\begin{aligned}&y > 0,x \in \left( { - 1;3} \right) \\ &y < 0,x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\end{aligned}$
Монотоност. Функција је расте кад $x \in \left( { - \infty ,1} \right)$ и опада је кад $x \in \left( {1, + \infty } \right)$ .

Пр.3 Испитиваћемо график функције: $f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^2} - 2x - 6$ .

Домен функције - простирање функције дуж $x -$ осе $Df:R$
Нуле функције - тачке пресека са $x -$ осом $(y=0)$ $\begin{aligned}&- \frac{1}{3}{x^2} - 2x - 6 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{2 \pm \sqrt {4 - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) \cdot \left( { - 6} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right)}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{2 \pm \sqrt { - 4} }}{{ - \frac{2}{3}}}\end{aligned}.$ Ова једначина нема решења у скупу реалних бројева, онда и график нема тачака пресека са $x -$ осом.
Пресек са $y -$ осом. За $x=0$ je $y=-6$ . Добићемо тачку $A\left( {0;-6} \right)$
Одредити теме параболе тачку $T\left( {\alpha ,\beta } \right)$ $\begin{aligned}&\alpha = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}} = - 3 \\ &\beta = \frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}} = \frac{{ - 4 + 4 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) \cdot \left( { - 6} \right)}}{{4 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right)}} = \frac{{ - 4 + 8}}{{ - \frac{4}{3}}} = - 3 \\ &T\left( { - 3; - 3} \right)\end{aligned}$ Добили смо jош jедну тачку. Повезуемо све ове тачке.
Оса симетриjе jе права у односу на коjу график jе симетричан. Ова права имаће једнакост $x=\alpha$ или $x = - 3$ .
Кодомен функције - простирање функције дуж $y -$ осе. $x \in \left( { - \infty , - 3} \right)$
Знак функције $y < 0,\forall x \in Df$
Монотоност. Функција је расте кад $x \in \left( { - \infty , - 3} \right)$ и опада је кад $x \in \left( { - 3, + \infty } \right)$ .

Код квадратне функције са $a < 0$ парабола је отворена наниже, па је теме $T(\alpha; \beta)$ највиша тачка графика. Скуп вредности је $(-\infty, \beta]$ , функција расте на $(-\infty, \alpha)$ , а опада на $(\alpha, +\infty)$ . Позитивна је између нула, а негативна изван њих. Ако је дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ негативна, нула нема: тада је функција за $a < 0$ негативна за свако $x$ , а за $a > 0$ позитивна. Тада облик графика одређују само теме и пресек са осом $y$ , па их одредите пажљиво, а по потреби израчунајте још коју вредност. Честа грешка је заменити интервале раста и опадања кад је $a < 0$ .

a−0,5

b2

c2,5

β, највећа вредност: 4,5
D: 9
x₁: −1
x₂: 5

Осенчен је део између нула, где је функција позитивна. Теме

T

је највиша тачка, па је скуп вредности

(-\infty, \beta]

. Смањујте

c

: при

c = -2

парабола само дотиче осу

x

(

D = 0

). Ако затим ставите

b = 0

, дискриминанта постаје негативна, парабола је цела испод осе

x

и функција је свуда негативна.

Путању лопте, воденог млаза или скакача у даљ описује парабола отворена наниже: теме даје највишу тачку путање, а нуле место одакле лопта полеће и где пада.

Дуга лопта голмана

Голман шутира лопту са тла. Њена висина у метрима, на хоризонталном растојању од $x$ метара, је $y = -0{,}02x^2 + 0{,}8x$ . Где ће лопта пасти, колико ће се највише подићи и да ли ће прелетети играча који стоји 5 m испред голмана и скоком дохвата висину од 2,5 m?

Решење

Нуле: $-0{,}02x^2 + 0{,}8x = 0$ , односно $x(-0{,}02x + 0{,}8) = 0$ , па је $x_1 = 0$ и $x_2 = 40$ .
Теме: $\alpha = -\frac{0{,}8}{2 \cdot (-0{,}02)} = 20$ и $\beta = -0{,}02 \cdot 400 + 0{,}8 \cdot 20 = 8$ , па је $T(20; 8)$ .
Пошто је $a < 0$ , функција расте за $x < 20$ и опада за $x > 20$ : лопта се пење првих 20 m, а затим пада.
За $x = 5$ : $y = -0{,}02 \cdot 25 + 0{,}8 \cdot 5 = -0{,}5 + 4 = 3{,}5$ m, што је више од 2,5 m.

Одговор: Лопта пада 40 m од голмана, највише се подигне 8 m (на 20 m од голмана) и прелеће играча на висини од 3,5 m.

Задатак за вежбу

Испитајте функцију $f(x) = -x^2 + 4x - 5$ .

Прикажи решење

$D = 16 - 20 = -4 < 0$ , па нула нема. Пресек са осом $y$ је $(0; -5)$ , теме $T(2; -1)$ , скуп вредности $(-\infty, -1]$ . Функција је негативна за свако $x$ , расте на $(-\infty, 2)$ и опада на $(2, +\infty)$ .