Тригонометријске функције двоструког угла 2

Тригонометријске функције двоструког угла. Примена на сложеније примере.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Доказати следећу једнакост:

Пр.5 $\frac{{t{g^2}\alpha + ct{g^2}\alpha - 6}}{{t{g^2}\alpha + ct{g^2}\alpha + 2}} = \cos 4\alpha$

Пр.6 $\frac{{2 - \sin 4\alpha tg2\alpha }}{{\sin 4\alpha }} = ctg2\alpha$

Пр.5

$\begin{aligned}&\frac{{t{g^2}\alpha + ct{g^2}\alpha - 6}}{{t{g^2}\alpha + ct{g^2}\alpha + 2}} = \cos 4\alpha \\ &\frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 6}}{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + 2}} = \cos 4\alpha \\ &\frac{{\frac{{{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha - 6{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}}} = \cos 4\alpha \\ &\frac{{{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha - 6{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2}}} = \cos 4\alpha \\ &{\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha - 4{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \cos 4\alpha \\ &{\left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} - {\left( {2\sin \alpha \cos \alpha } \right)^2} = \cos 4\alpha \\ &{\cos ^2}2\alpha - {\sin ^2}2\alpha = \cos 4\alpha \\ &\cos 2 \cdot 2\alpha = \cos 4\alpha \\ &\cos 4\alpha = \cos 4\alpha\end{aligned}$

Пр.6 $\begin{aligned}&\frac{{2 - \sin 4\alpha tg2\alpha }}{{\sin 4\alpha }} = ctg2\alpha \\ &\frac{{2 - \sin 2 \cdot 2\alpha \cdot \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }}}}{{\sin 2 \cdot 2\alpha }} = ctg2\alpha \\ &\frac{{2 - 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \cdot \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }}}}{{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha }} = ctg2\alpha \\ &\frac{{2\left( {1 - {{\sin }^2}2\alpha } \right)}}{{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha }} = ctg2\alpha \\ &\frac{{{{\cos }^2}2\alpha }}{{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }} = ctg2\alpha \\ &\frac{{\cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha }} = ctg2\alpha \\ &ctg2\alpha = ctg2\alpha\end{aligned}$

У сложенијим доказима формуле двоструког угла примењујете више пута, и на углове $2\alpha$ и $4\alpha$ : $\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha$ и $\cos 4\alpha = \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha$ . Тангенс и котангенс прво напишите преко синуса и косинуса, па разломке сведите на заједнички именилац. Обично радите на страни на којој има више функција, док не добијете другу страну.

Корисни су и облици $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ и $4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 2\alpha$ . Тако се израз $\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha - 6}{\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha + 2}$ своди на $\cos 4\alpha$ . Сложен запис поједноставите сменом $2\alpha = \beta$ . Не заборавите услове: имениоци не смеју бити нула, а тангенс и котангенс морају бити дефинисани.

Окрет огледала tg α0,2

Угао окрета α: 11,3°
tg 2α = 2 tg α : (1 − tg²α): 0,417
2 tg α (погрешно): 0,4
Помак тачке x: 2,5 m

Кад се огледало окрене за

\alpha

, нормала се окрене за

\alpha

, а одбијени зрак за

2\alpha

. Зато се помак на зиду рачуна са

\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}

, а не са

2\operatorname{tg} \alpha

. За

\operatorname{tg} \alpha = 0{,}2

помак је тачно 2,5 m.

Мерни инструменти са огледалом, као оптичка полуга у физичкој лабораторији, користе то што се одбијени зрак окрене за $2\alpha$ кад се огледало окрене за $\alpha$ , па се помак светле тачке рачуна формулом за $\operatorname{tg} 2\alpha$ .

Ласер и огледало

На вежби из физике ласер причвршћен на зиду шаље зрак управно на огледало удаљено 6 m, и зрак се враћа у исту тачку. Затим се огледало окрене за угао $\alpha$ за који је $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{5}$ . За колико се на зиду помери светла тачка?

Решење

Кад се огледало окрене за $\alpha$ , за толико се окрене и његова нормала, а одбијени зрак скрене за $2\alpha$ од упадног. Зато је помак $x = 6\operatorname{tg} 2\alpha$ .
$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{5}{12}$ .
$x = 6 \cdot \frac{5}{12} = 2{,}5$ m.

Одговор: Светла тачка се на зиду помери за 2,5 m.

Задатак за вежбу

Докажите идентитет $8\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - \cos 4\alpha$ .

Прикажи решење

$8\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 2(2\sin \alpha \cos \alpha)^2 = 2\sin^2 2\alpha$ , а из $\cos 4\alpha = 1 - 2\sin^2 2\alpha$ следи $2\sin^2 2\alpha = 1 - \cos 4\alpha$ .