Тригонометрија – мерење углова

Мерење углова. Степени, радијани, претварање. Позитиван и негативан смер угла.

У тригонометрији угао настаје обртањем полуправе око темена, од почетног до крајњег крака. Обртање супротно кретању казаљке на сату даје позитиван угао, а обртање у смеру казаљке негативан, па углови могу бити и негативни и већи од $360^\circ$ . Углови $\alpha$ и $\alpha + k \cdot 360^\circ$ имају исти крајњи крак.

Углове мерите у степенима или радијанима. Један радијан је централни угао над луком дугим колико полупречник, па пун угао има $2\pi$ радијана и $180^\circ = \pi$ . Претварате формулама $\alpha_{\mathrm{rad}} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180}$ и $\alpha^\circ = \alpha_{\mathrm{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$ ; тако је $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ , а $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ . Дужина лука је $l = r\alpha$ само кад је угао у радијанима.

Угао α−120°

Угао у радијанима: −2,094 rad
Лук врха казаљке од 1,2 m: 2,51 m

Негативан угао се мери у смеру казаљке на сату:

-120^\circ

и

240^\circ

имају исти крајњи крак, а у радијанима су

-\frac{2\pi}{3}

и

\frac{4\pi}{3}

. Лук врха казаљке расте исто као угао у радијанима:

l = 1{,}2 \cdot |\alpha|

.

Инжењери брзину обртања мотора, точкова и турбина изражавају у радијанима у секунди, а функције $\sin$ и $\cos$ у програмским језицима и табелама као што је Excel примају угао у радијанима.

Казаљка градског сата

Минутна казаљка градског сата на тргу дугачка је 1,2 m. Колики угао опише за 20 минута, у степенима и радијанима, са знаком према смеру обртања? Колики лук пређе њен врх?

Решење

За 60 минута казаљка опише пун угао од $360^\circ$ , па за 20 минута $\frac{20}{60} \cdot 360^\circ = 120^\circ$ .
Казаљка се окреће у смеру кретања казаљке на сату, а то је негативан смер: угао је $-120^\circ$ .
У радијанима: $-120 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{2\pi}{3} \approx -2{,}094$ .
Дужина лука зависи само од величине угла: $l = r \cdot \frac{2\pi}{3} = 1{,}2 \cdot \frac{2\pi}{3} = 0{,}8\pi \approx 2{,}51$ m.

Одговор: Казаљка опише угао од $-120^\circ$ , односно $-\frac{2\pi}{3}$ радијана, а њен врх пређе око 2,51 m.

Задатак за вежбу

Претворите $225^\circ$ у радијане и $\frac{7\pi}{6}$ у степене. Који угао између $0^\circ$ и $360^\circ$ има исти крајњи крак као угао $-300^\circ$ ?

Прикажи решење

$225 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{4}$ ; $\frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 210^\circ$ ; $-300^\circ + 360^\circ = 60^\circ$ .