Квадратна једначина – знак решења

Одређивање знака решења квадратне једначине. Извођење и једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1) Не решавајући једначину одреди знак њених решења.

${x^2} + 6x + 5 = 0$

пр.2) Одредити реалан параметар $m$ тако да решења квадратне

једначине ${x^2} + 3x + 3m - 2 = 0$ буду позитивна.

Пр.1 $D = {b^2} - 4ac = 36 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 > 0 \Rightarrow$ решења су реална и различита.

${x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5 > 0 \Rightarrow$ решења су истог знака.

${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{6}{1} = - 6 < 0 \Rightarrow$ оба решења су негативна.

Пр.2 За оваj задатак jе потребно:

$D \geqslant 0$
${x_1} \cdot {x_2} > 0$
${x_1} + {x_2} > 0$

$\begin{aligned}&{x^2} + 3x + 3m - 2 = 0 \\ &D = {b^2} - 4ac = 9 - 4 \cdot \left( {3m - 2} \right) = 9 - 12m + 8 = 17 - 12m \\ &D \geqslant 0 \Leftrightarrow 17 - 12m \geqslant 0 \Rightarrow m \leqslant \frac{{17}}{{12}} \\ & \\ &{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{3m - 2}}{1} = 3m - 2 \\ &{x_1} \cdot {x_2} > 0 \Leftrightarrow 3m - 2 > 0 \Rightarrow m > \frac{3}{2} \\ & \\ &{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3 > 0,\forall m \in R\end{aligned}$

И коначно jе потребно наћи пресек ове три решења:

$m \in \left( {\frac{2}{3},\frac{{17}}{{12}}} \right]$

Знак решења квадратне једначине $ax^2 + bx + c = 0$ можете одредити без решавања, помоћу Виетових формула $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ . Прво проверите дискриминанту: решења су реална само ако је $D = b^2 - 4ac \geqslant 0$ . Ако је производ позитиван, решења су истог знака, а збир показује ког: позитиван збир значи да су оба позитивна, а негативан да су оба негативна. Ако је производ негативан, решења су увек реална и супротног знака.

Кад једначина има параметар $m$ , сваки од услова $D \geqslant 0$ , $x_1 x_2 > 0$ и $x_1 + x_2 > 0$ (или $< 0$ ) решите као неједначину по $m$ , па узмите пресек. Честа грешка је изоставити услов $D \geqslant 0$ .

b−4

c3

D: 4
x₁ · x₂ = c: 3
x₁ + x₂ = −b: 4

Тачке

x_1

и

x_2

су решења једначине

x^2 + bx + c = 0

, а испод графика су њихов производ

c

и збир

-b

. Кад је

c < 0

, решења су увек са различитих страна нуле. Кад је

c > 0

и

D > 0

, оба су на страни коју показује знак збира.

Кад квадратна једначина описује време, дужину или количину, смисао имају само позитивна решења. Из знака решења, без рачунања самих решења, видите колико их има смисла: на пример, колико пута ће бачена лопта бити на датој висини.

Лопта бачена са моста

Са моста који је 25 m изнад реке лопта је бачена увис брзином 20 m/s. Њена висина изнад воде после $t$ секунди је $h(t) = 25 + 20t - 5t^2$ метара. Не решавајући једначине, утврдите колико ће пута после бацања лопта бити на висини 40 m, а колико пута на висини 10 m.

Решење

Висина 40 m: $25 + 20t - 5t^2 = 40$ , па после дељења са $-5$ добијамо $t^2 - 4t + 3 = 0$ .
$D = 16 - 12 = 4 > 0$ , $t_1 \cdot t_2 = 3 > 0$ и $t_1 + t_2 = 4 > 0$ : оба решења су позитивна.
Висина 10 m: $25 + 20t - 5t^2 = 10$ , односно $t^2 - 4t - 3 = 0$ .
Сада је $t_1 \cdot t_2 = -3 < 0$ , па су решења супротног знака. Негативно решење би значило тренутак пре бацања, па остаје само једно.

Одговор: Лопта је на висини 40 m два пута, док се пење и док пада, а на висини 10 m само једном, на путу ка води.

Задатак за вежбу

Не решавајући једначину $2x^2 - 7x + 3 = 0$ , одредите знак њених решења.

Прикажи решење

$D = 49 - 24 = 25 > 0$ , $x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} > 0$ и $x_1 + x_2 = \frac{7}{2} > 0$ , па су оба решења позитивна (то су $\frac{1}{2}$ и $3$ ).