Квадратна једначина – Виетове формуле 3

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6   Не решавајући квадратну једначину ${x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2}-1 = 0$

           одреди параметар $m$ тако да између решења постоји веза

           $2{x_1} - {x_2} = 1$.

Пр.7   Не решавајући квадратну једначину ${x^2} - 3x + 12 = 0$ састави

           нову квадратну једначину чија су решења ${y_1} = {x_1} - 3$

           и ${y_2} = {x_2} - 3$.

Пр.6

${x_1} + {x_2} = 2m - 1,$   ${x_1}{x_2} = {m^2} - 1$

$2{x_1} - {x_2} = 1$ онда  ${x_2} = 2{x_1} - 1$

$$\begin{aligned}&\left\{ \begin{aligned}&{x_1} + 2{x_1} - 1 = 2m - 1 \\ &{x_1}\left( {2{x_1} - 1} \right) = {m^2} - 1\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&3{x_1} = 2m \\ &2x_1^2 - {x_1} = {m^2} - 1\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&{x_1} = \frac{{2m}}{3} \\ &2{\left( {\frac{{2m}}{3}} \right)^2} - \frac{{2m}}{3} = {m^2} - 1\end{aligned} \right.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&2{\left( {\frac{{2m}}{3}} \right)^2} - \frac{{2m}}{3} = {m^2} - 1 \\ &2\left( {\frac{{4{m^2}}}{9}} \right) - \frac{{2m}}{3} = {m^2} - 1\left| { \cdot 9} \right. \\ &8{m^2} - 6m = 9{m^2} - 9 \\ &8{m^2} - 6m = 9{m^2} - 9 \\ &8{m^2} - 6m - 9{m^2} + 9 = 0 \\ &- {m^2} - 6m + 9 = 0 \\ &{m_{1,2}} = \frac{{6 \pm \sqrt {36 \cdot 2} }}{{ - 2}} \\ &{m_{1,2}} = \frac{{6 \pm \sqrt {36 \cdot 2} }}{{ - 2}} \\ &{m_{1,2}} = - 3\left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)\end{aligned}$$

Пр.7

$$\begin{aligned}&{y^2} + by + c = 0 \\ &a\left( {{y^2} + \frac{b}{a}y + \frac{c}{a}} \right) = 0 \\ &a\left( {{y^2} - \left( { - \frac{b}{a}} \right)y + \frac{c}{a}} \right) = 0\left| { \div a} \right. \\ &\left( {{y^2} - \left( { - \frac{b}{a}} \right)y + \frac{c}{a}} \right) = 0\end{aligned}$$

Знамо да

${y_1} + {y_2} = - \frac{b}{a},$   ${y_1}{y_2} = \frac{c}{a}$ онда

$${y^2} - \left( {{y_1} + {y_2}} \right)y + {y_1}{y_2} = 0$$

Знамо да ${y_1} = {x_1} - 3$  и  ${y_2} = {x_2} - 3$. 

За  једначину ${x^2} - 3x + 12 = 0$ имамо ${x_1} + {x_2} = 3,$   ${x_1}{x_2} = 12$ онда

$$\begin{aligned}&{y_1} + {y_2} = {x_1} - 3 + {x_2} - 3 = {x_1} + {x_2} - 6 = 3 - 6 = - 3 \\ &{y_1}{y_2} = \left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) = {x_1}{x_2} - 3{x_1} - 3{x_2} + 9 = \\ &= {x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 = 12 - 3 \cdot 3 + 9 = 12\end{aligned}$$

Вратимо се на  једначину 

$$\begin{aligned}&{y^2} - \left( {{y_1} + {y_2}} \right)y + {y_1}{y_2} = 0 \\ &{y^2} - \left( { - 3} \right)y + 12 = 0 \\ &{y^2} + 3y + 12 = 0\end{aligned}$$