Експоненцијалне једначине 4

Решавање експоненцијалне једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијану једначину.

пр.11) ${2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} + {2^{x + 3}} = 30$

пр.12) ${2^{3x + 1}} + 1 = {2^{2x}} + {2^{x +1}}$

пр.13) ${5^{x + 1}} - {5^{x - 1}} = 24$

пр.14) ${7^{x + 2}} - \frac{1}{7} \cdot {7^{x + 1}} - 14 \cdot {7^{x - 1}} + 2 \cdot {7^x} = 48$

Пр. 11

$\begin{aligned}&{2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} + {2^{x + 3}} = 30 \\ &{2^x} + {2^x} \cdot {2^1} + {2^x} \cdot {2^2} + {2^x} \cdot {2^3} = 30 \\ &{2^x}\left( {1 + \cdot {2^1} + \cdot {2^2} + \cdot {2^3}} \right) = 30 \\ &{2^x}\left( {1 + 2 + 4 + 8} \right) = 30 \\ &{2^x} \cdot 15 = 30 \\ &{2^x} = {2^1} \\ &x = 1\end{aligned}$

Пр. 12

$\begin{aligned}&{2^{3x + 1}} + 1 = {2^{2x}} + {2^{x + 1}} \\ &{2^{3x}} \cdot {2^1} + 1 = {2^{2x}} + {2^x} \cdot {2^1} \\ &смена:{2^x} = t \\ &2{t^3} + 1 = {t^2} + 2t \\ &2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0 \\ &{t^2}\left( {2t - 1} \right) - \left( {2t - 1} \right) = 0 \\ &\left( {2t - 1} \right)\left( {{t^2} - 1} \right) = 0 \\ &\left( {2t - 1} \right)\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 0 \\ & \\ &2t - 1 = 0 \\ &t = \frac{1}{2} \\ &{2^x} = \frac{1}{2} \\ &{2^x} = {2^{ - 1}} \\ &x = - 1 \\ & \\ &t - 1 = 0 \\ &{2^x} - 1 = 0 \\ &{2^x} = 1 \\ &{2^x} = {1^0} \\ &x = 0 \\ & \\ &t + 1 = 0 \\ &{2^x} + 1 = 0 \\ &{2^x} = - 1\end{aligned}$

ова експоненцијална једначина нема решења (експоненцијална функција је увек позитивна)

$x = \left\{ { - 1;0} \right\}$

Пр. 13

$\begin{aligned}&{5^{x + 1}} - {5^{x - 1}} = 24 \\ &{5^x} \cdot 5 - \frac{{{5^x}}}{5} = 24 \\ &{5^x} \cdot \left( {5 - \frac{1}{5}} \right) = 24 \\ &{5^x} \cdot \frac{{24}}{5} = 24 \\ &{5^x} = {5^1} \\ &x = 1\end{aligned}$

Пр. 14

$\begin{aligned}&{7^{x + 2}} - \frac{1}{7} \cdot {7^{x + 1}} - 14 \cdot {7^{x - 1}} + 2 \cdot {7^x} = 48 \\ &{7^x} \cdot {7^2} - \frac{1}{7} \cdot {7^x} \cdot 7 - 14 \cdot \frac{{{7^x}}}{7} + 2 \cdot {7^x} = 48 \\ &{7^x} \cdot {7^2} - {7^x} - 2 \cdot {7^x} + 2 \cdot {7^x} = 48 \\ &{7^x} \cdot \left( {{7^2} - 1} \right) = 48 \\ &{7^x} \cdot 48 = 48 \\ &{7^x} = 1 \\ &x = 0\end{aligned}$

Кад сви чланови имају исту основу, а изложиоци се разликују за константу, као $2^{x + 3}$ , $2^{x + 1}$ и $2^x$ , извуците заједнички чинилац. Сваки члан раставите по правилима $a^{x + k} = a^x \cdot a^k$ и $a^{x - k} = \frac{a^x}{a^k}$ ; на пример, $3^{x + 2} - 3^{x - 1} = 3^x\left(9 - \frac{1}{3}\right)$ . Тада остаје $C \cdot a^x = D$ , тј. $a^x = \frac{D}{C}$ , што решавате свођењем на исту основу. Збир у загради израчунајте пажљиво, јер у њему често има разломака. Ако се појаве $a^{3x}$ , $a^{2x}$ и $a^x$ , уведите смену $t = a^x$ , добијени полином по $t$ раставите груписањем, а решења $t \leqslant 0$ одбаците. Честа грешка је $2^x + 2^{x + 1}$ записати као $2^{2x + 1}$ : изложиоци се сабирају само при множењу.

Број картица3

x4

Најмања картица: 16 GB
Чинилац у загради: 7
Укупно: 112 GB

Збир

k

картица је

(1 + 2 + \dots + 2^{k - 1}) \cdot 2^x = (2^k - 1) \cdot 2^x

: иста крива као

2^x

(испрекидано), само развучена

2^k - 1

пута. Зато се

2^x

увек може извући испред заграде.

Капацитети меморије у рачунарима и телефонима су степени двојке, па се збирови као $2^x + 2^{x + 1}$ јављају кад се сабира простор на више уређаја чији се капацитети удвостручују.

Три меморијске картице

Фотограф има три меморијске картице: друга има двоструко већи капацитет од прве, а трећа двоструко већи од друге. Капацитети су $2^x$ , $2^{x + 1}$ и $2^{x + 2}$ GB, а укупно имају 112 GB. Колики је капацитет сваке картице?

Решење

Сабирамо капацитете: $2^x + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 112$ .
Извлачимо заједнички чинилац $2^x$ : $2^x(1 + 2 + 4) = 112$ , тј. $7 \cdot 2^x = 112$ .
Делимо са 7: $2^x = 16 = 2^4$ , па је $x = 4$ .
Капацитети су $2^4 = 16$ , $2^5 = 32$ и $2^6 = 64$ GB, а $16 + 32 + 64 = 112$ .

Одговор: Картице имају 16 GB, 32 GB и 64 GB.

Задатак за вежбу

Решите једначину $3^{x + 1} + 3^{x - 1} = 90$ .

Прикажи решење

$3^x\left(3 + \frac{1}{3}\right) = 90$ , тј. $\frac{10}{3} \cdot 3^x = 90$ , па је $3^x = 27 = 3^3$ и $x = 3$ .