Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Симетрична и кососиметрична једначина

Поступак за решавање симетричних и кососиметричних једначина. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1)   Решити следећу једначину:

           6x5−5x4−29x3−29x2−5x+6=06{x^5} - 5{x^4} - 29{x^3} - 29{x^2} - 5x + 6 = 0

Пр.1

6x5−5x4−29x3−29x2−5x+6=06{x^5} - 5{x^4} - 29{x^3} - 29{x^2} - 5x + 6 = 0

Ово jе симетрична jедначина петог (непарног) степена, jедно њено решење jе x=−1{x} = - 1

Онда можемо поделити ову једначину са x+1{x + 1}

6x5−5x4−29x3−29x2−5x+6=0∣÷(x+1)6x4−11x3−18x2−11x+6=0\begin{aligned}&6{x^5} - 5{x^4} - 29{x^3} - 29{x^2} - 5x + 6 = 0\left| { \div \left( {x + 1} \right)} \right. \\ &6{x^4} - 11{x^3} - 18{x^2} - 11x + 6 = 0\end{aligned}

Добили смо нову симетричну jедначину парног степена. Делимо ову једначину са средњим чланом x2{x^2}

6x4−11x3−18x2−11x+6=0∣÷(x2)6x4x2−11x3x2−18x2x2−11xx2+6x2=06x2−11x−18−11x+6x2=06(x2+1x2)−11(x+1x)−18=0смена:x+1x=t⇔x2+1x2=t2−26(t2−2)−11t−18=06t2−12−11t−18=06t2−11t−30=0t1,2=11±84112t1,2=11±292t1=−32,t2=103x+1x=−32∨x+1x=103x+1x=−32∣⋅2x2x2+3x+2=0x1,2=−3±−74x1,2=−3±i74x+1x=103∣⋅3xx3,4=10±646x3,4=10±86x1=13,x2=3\begin{aligned}&6{x^4} - 11{x^3} - 18{x^2} - 11x + 6 = 0\left| { \div \left( {{x^2}} \right)} \right. \\ &\frac{{6{x^4}}}{{{x^2}}} - \frac{{11{x^3}}}{{{x^2}}} - \frac{{18{x^2}}}{{{x^2}}} - \frac{{11x}}{{{x^2}}} + \frac{6}{{{x^2}}} = 0 \\ &6{x^2} - 11x - 18 - \frac{{11}}{x} + \frac{6}{{{x^2}}} = 0 \\ &6\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 11\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 18 = 0 \\ &смена:x + \frac{1}{x} = t \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2 \\ &6\left( {{t^2} - 2} \right) - 11t - 18 = 0 \\ &6{t^2} - 12 - 11t - 18 = 0 \\ &6{t^2} - 11t - 30 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{11 \pm \sqrt {841} }}{{12}} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{11 \pm 29}}{2} \\ &{t_1} = - \frac{3}{2},{t_2} = \frac{{10}}{3} \\ &x + \frac{1}{x} = - \frac{3}{2} \vee x + \frac{1}{x} = \frac{{10}}{3} \\ &x + \frac{1}{x} = - \frac{3}{2}\left| { \cdot 2x} \right. \\ &2{x^2} + 3x + 2 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt { - 7} }}{4} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 3 \pm i\sqrt 7 }}{4} \\ &x + \frac{1}{x} = \frac{{10}}{3}\left| { \cdot 3x} \right. \\ &{x_{3,4}} = \frac{{10 \pm \sqrt {64} }}{6} \\ &{x_{3,4}} = \frac{{10 \pm 8}}{6} \\ &{x_1} = \frac{1}{3},{x_2} = 3\end{aligned}

x={−1;13;−3−i74;−3+i74;3}x = \left\{ { - 1;\frac{1}{3};\frac{{ - 3 - i\sqrt 7 }}{4};\frac{{ - 3 + i\sqrt 7 }}{4};3} \right\}

Код симетричне једначине једнаки су коефицијенти једнако удаљени од почетка и краја, на пример ax4+bx3+cx2+bx+a=0ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0, а код кососиметричне су такви коефицијенти супротни бројеви. Ако је xx решење, решење је и 1x\frac{1}{x}, па решења долазе у паровима. Симетрична једначина непарног степена увек има решење x=−1x = -1, а кососиметрична решење x=1x = 1, па полином поделите са x+1x + 1, односно x−1x - 1, и снизите степен. Једначину четвртог степена поделите са x2x^2 (нула није решење), групишите a(x2+1x2)+b(x+1x)+c=0a\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + b\left(x + \frac{1}{x}\right) + c = 0 и уведите смену t=x+1xt = x + \frac{1}{x}. Тада је x2+1x2=t2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2. Честа грешка је написати t2t^2 без −2-2.

−3−113−4−2240xyy = tx + 1/xx₁x₂
2,5
x₁
0,5
x₂
2
x₁ · x₂
1
Права y=ty = t сече криву y=x+1xy = x + \frac{1}{x} у тачкама x1x_1 и x2=1x1x_2 = \frac{1}{x_1}, па им је производ 1. За t=2,5t = 2{,}5 то су 12\frac{1}{2} и 2, као у примеру, а за t=−3,5t = -3{,}5 оба пресека су негативна. За −2<t<2-2 < t < 2 пресека нема: тада смена даје комплексна решења.

Симетрична једначина настаје кад се задатак не мења ако количник qq замените са 1q\frac{1}{q}, на пример кад величина сваког дана расте истим фактором, а знају се средњи дан и збир. Полиноме са симетричним коефицијентима имају и дигитални филтери са линеарном фазом у обради звука.

Прегледи новог снимка

Број прегледа новог снимка сваког дана је исти број пута већи него претходног дана. Трећег дана снимак је имао 1.600 прегледа, а за првих пет дана укупно 12.400. Колико пута се број прегледа повећавао из дана у дан?

Решење

  1. Ако се број прегледа сваког дана помножи са qq, по данима их је 1600q2\frac{1600}{q^2}, 1600q\frac{1600}{q}, 16001600, 1600q1600q и 1600q21600q^2. Збир је 12.400, па после дељења са 400 и множења са q2q^2 добијамо 4q4+4q3−27q2+4q+4=04q^4 + 4q^3 - 27q^2 + 4q + 4 = 0. Коефицијенти 4,4,−27,4,44, 4, -27, 4, 4 показују да је једначина симетрична.
  2. Делимо са q2q^2 и групишемо: 4(q2+1q2)+4(q+1q)−27=04\left(q^2 + \frac{1}{q^2}\right) + 4\left(q + \frac{1}{q}\right) - 27 = 0.
  3. Смена t=q+1qt = q + \frac{1}{q}, q2+1q2=t2−2q^2 + \frac{1}{q^2} = t^2 - 2: 4(t2−2)+4t−27=04(t^2 - 2) + 4t - 27 = 0, односно 4t2+4t−35=04t^2 + 4t - 35 = 0, па је t1=52t_1 = \frac{5}{2} и t2=−72t_2 = -\frac{7}{2}. Пошто је q>0q > 0, и tt је позитивно, па t2t_2 отпада.
  4. Из q+1q=52q + \frac{1}{q} = \frac{5}{2} следи 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0, тј. q=2q = 2 или q=12q = \frac{1}{2}. Прегледа има све више, па је q=2q = 2; решење 12\frac{1}{2} описује исте дане бројане уназад.

Одговор: Број прегледа се сваког дана удвостручавао: било их је 400, 800, 1.600, 3.200 и 6.400.

Задатак за вежбу

Решите кососиметричну једначину 2x3−7x2+7x−2=02x^3 - 7x^2 + 7x - 2 = 0.

Прикажи решење

Једно решење је x=1x = 1. Дељењем са x−1x - 1 добијамо 2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0, па су остала решења x=2x = 2 и x=12x = \frac{1}{2}.