Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Тригонометријске једначине 1

Тригонометријске једначине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити тригонометријску једначину.

Пр.1)   2cos⁡x−3=02\cos x - \sqrt 3 = 0

Пр.2)   sin⁡2x+1=0\sin 2x + 1 = 0

Пр.3)   2cos⁡x8=22\cos \frac{x}{8} = \sqrt 2

Пр.4)   3tgx2+3=03tg\frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0

Пр.5)   2ctg(x−π2)+2=02ctg\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = 0

Пр.1)   2cos⁡x−3=02\cos x - \sqrt 3 = 0

2cos⁡x=3cos⁡x=32x=π6+2πk,x=11π6+2πk,k∈Z\begin{aligned}&2\cos x = \sqrt 3 \\ &\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ &x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k, \\ &x = \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi k,k \in \mathbb{Z}\end{aligned}

Пр.2)   sin⁡2x+1=0\sin 2x + 1 = 0

sin⁡2x=−12x=3π6+2πk,k∈Z∣:2x=3π4+πk,k∈Z\begin{aligned}&\sin 2x = - 1 \\ &2x = \frac{{3\pi }}{6} + 2\pi k,k \in \mathbb{Z}\left| {:2} \right. \\ &x = \frac{{3\pi }}{4} + \pi k,k \in \mathbb{Z}\end{aligned}

Пр.3)   2cos⁡x8=22\cos \frac{x}{8} = \sqrt 2

2cos⁡x8=2∣:2cos⁡x8=22\begin{aligned}&2\cos \frac{x}{8} = \sqrt 2 \left| {:2} \right. \\ &\cos \frac{x}{8} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{aligned}

x8=π4+2πk,k∈Z∣⋅8\frac{x}{8} = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,k \in \mathbb{Z}\left| { \cdot 8} \right.   x8=7π4+2πk,k∈Z∣⋅8\frac{x}{8} = \frac{{7\pi }}{4} + 2\pi k,k \in \mathbb{Z}\left| { \cdot 8} \right.
x=2π+16kπ,k∈Zx = 2\pi + 16k\pi,k \in \mathbb{Z}   x=14π+16kπ,k∈Zx = 14\pi + 16k\pi ,k \in \mathbb{Z}

Пр.4)   3tgx2+3=03tg\frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0

3tgx2=−3tgx2=−33x2=5π6+kπ,k∈Z∣⋅2x=5π3+2kπ,k∈Z\begin{aligned}&3tg\frac{x}{2} = - \sqrt 3 \\ &tg\frac{x}{2} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3} \\ &\frac{x}{2} = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\left| { \cdot 2} \right. \\ &x = \frac{{5\pi }}{3} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{aligned}

Пр.5)   2ctg(x−π2)+2=02ctg\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = 0

2ctg(x−π2)=−2∣:2ctg(x−π2)=−1x−π2=3π4+kπ,k∈Zx=5π4+kπ,k∈Z\begin{aligned}&2ctg\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = - 2\left| {:2} \right. \\ &ctg\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = - 1 \\ &x - \frac{\pi }{2} = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \\ &x = \frac{{5\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{aligned}

Основне тригонометријске једначине решавате помоћу тригонометријске кружнице. Ако је sin⁡x=a\sin x = a и ∣a∣≤1|a| \le 1, решења су x=x0+2kπx = x_0 + 2k\pi и x=π−x0+2kπx = \pi - x_0 + 2k\pi, где је x0x_0 један угао са тим синусом. За cos⁡x=a\cos x = a решења су x=±x0+2kπx = \pm x_0 + 2k\pi, а за tg⁡x=a\operatorname{tg} x = a и ctg⁡x=a\operatorname{ctg} x = a довољна је једна фамилија, x=x0+kπx = x_0 + k\pi. За ∣a∣>1|a| > 1 једначине са синусом и косинусом немају решења.

Кад је аргумент bxbx или x−π2x - \frac{\pi}{2}, прво решите по целом аргументу, па тек онда по xx. При дељењу са bb делите и период: из x8=π4+2kπ\frac{x}{8} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi следи x=2π+16kπx = 2\pi + 16k\pi. Честа грешка је изгубити другу фамилију решења.

1,573,144,716,287,859,42−1,5−1−0,50,510xyy = ay = sin xx₁x₂x₁ + 2πx₂ + 2π
0,5
x₁ = arcsin a
0,524
x₂ = π − x₁
2,618
x₁ у степенима
30°
Права y=ay = a сече синусоиду у два низа тачака: x1+2kπx_1 + 2k\pi и π−x1+2kπ\pi - x_1 + 2k\pi. За a=12a = \frac{1}{2} то су π6≈0,52\frac{\pi}{6} \approx 0{,}52 и 5π6≈2,62\frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62, а затим исте тачке померене за 2π≈6,282\pi \approx 6{,}28.

Тригонометријске једначине одговарају на питање „када“ код свега што се окреће или осцилује: у ком тренутку крак ветрогенератора, клип мотора или напон у мрежи достиже задату вредност.

Крак ветрогенератора

Осовина ветрогенератора је на висини од 100 m, а крак елисе дугачак је 50 m. Елиса направи пун круг за 4 s, а у тренутку t=0t = 0 посматрани крак је водораван и креће навише. Висина врха крака после tt секунди је h=100+50sin⁡πt2h = 100 + 50\sin\frac{\pi t}{2} (у метрима). У којим тренуцима током првог круга је врх крака на висини од 125 m?

Решење

  1. Из 100+50sin⁡πt2=125100 + 50\sin\frac{\pi t}{2} = 125 добијамо sin⁡πt2=12\sin\frac{\pi t}{2} = \frac{1}{2}.
  2. Синус је 12\frac{1}{2} за углове π6\frac{\pi}{6} и 5π6\frac{5\pi}{6}, па је πt2=π6+2kπ\frac{\pi t}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi или πt2=5π6+2kπ\frac{\pi t}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi.
  3. Множимо са 2π\frac{2}{\pi}: t=13+4kt = \frac{1}{3} + 4k или t=53+4kt = \frac{5}{3} + 4k, k∈Zk \in \mathbb{Z}. У решењу се види период од 4 s.
  4. Први круг траје док је 0≤t<40 \le t < 4, па узимамо k=0k = 0: t=13t = \frac{1}{3} s и t=53t = \frac{5}{3} s.

Одговор: Врх крака је на 125 m после приближно 0,33 s, на путу навише, и после приближно 1,67 s, на путу наниже.

Задатак за вежбу

Решите једначину 2cos⁡2x−1=02\cos 2x - 1 = 0.

Прикажи решење

cos⁡2x=12\cos 2x = \frac{1}{2}, па је 2x=±π3+2kπ2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi, односно x=±π6+kπx = \pm\frac{\pi}{6} + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.