Кореновање – решени задаци 1

Примена правила за кореновање на једноставним примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Упростити израз:

${\left( {\frac{{16}}{{25}}} \right)^{\frac{1}{2}}} =$

Пр.2 ${\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} =$

Пр.3 ${\left( {\frac{9}{{16}}} \right)^{ - 10}}:{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{ - \frac{4}{5}}} =$

Пр.4 ${\left( {{{\left( {1\frac{9}{{16}}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}} - {{\left( {1 - \frac{{16}}{{25}}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^{ - 1}} =$

Пр.5 $\sqrt[3]{{81 \cdot {x^5}{y^{10}}}} =$

Пр.1 ${\left( {\frac{{16}}{{25}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{4}{5}$

Пр.2 ${\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{9}{4}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 9 }} = \frac{2}{3}$

Пр.3

$\begin{aligned}&{\left( {\frac{9}{{16}}} \right)^{ - 10}}:{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{ - \frac{4}{5}}} = {\left( {\frac{{16}}{9}} \right)^{10}}:{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{\frac{4}{5}}} = \frac{{{{16}^{10}}}}{{{9^{10}}}}:\frac{{{3^{\frac{4}{5}}}}}{{{4^{\frac{4}{5}}}}} = \frac{{{{\left( {{4^2}} \right)}^{10}}}}{{{{\left( {{3^2}} \right)}^{10}}}} \cdot \frac{{{4^{\frac{4}{5}}}}}{{{3^{\frac{4}{5}}}}} = \\ &= \frac{{{4^{20}}}}{{{3^{20}}}} \cdot \frac{{{4^{\frac{4}{5}}}}}{{{3^{\frac{4}{5}}}}} = \frac{{{4^{20}} \cdot {4^{\frac{4}{5}}}}}{{{3^{20}} \cdot {3^{\frac{4}{5}}}}} = \frac{{{4^{\frac{{104}}{5}}}}}{{{3^{\frac{{104}}{5}}}}} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{{104}}{5}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{104}}}}\end{aligned}$

Пр.4

$\begin{aligned}&{\left( {{{\left( {1\frac{9}{{16}}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}} - {{\left( {1 - \frac{{16}}{{25}}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {{{\left( {\frac{{25}}{{16}}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}} - {{\left( {\frac{9}{{25}}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^{ - 1}} = \\ &= {\left( {{{\left( {\frac{{16}}{{25}}} \right)}^{\frac{1}{2}}} - {{\left( {\frac{{25}}{9}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\sqrt {\left( {\frac{{16}}{{25}}} \right)} - \sqrt {\left( {\frac{{25}}{9}} \right)} } \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{4}{5} - \frac{5}{3}} \right)^{ - 1}} = \\ &= {\left( {\frac{{12 - 25}}{{15}}} \right)^{ - 1}} = {\left( { - \frac{{13}}{{15}}} \right)^{ - 1}} = - \frac{{15}}{{13}}\end{aligned}$

Пр.5 $\sqrt[3]{{81 \cdot {x^5}{y^{10}}}} = \sqrt[3]{{{3^4}{x^6}{y^{10}}}} = \sqrt[3]{{3 \cdot {3^3} \cdot {x^3} \cdot {x^3} \cdot {y^9} \cdot y}} = 3{x^2}{y^3}\sqrt[3]{{3y}}$

Корене рачунате преко степена са рационалним изложиоцем, $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ . Мешовити број прво претворите у разломак, а негативан изложилац уклоните тако што разломак окренете: $\left(2\frac{7}{9}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{25}{9}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{9}{25}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{5}$ . При множењу степена исте основе изложиоци се сабирају, а при дељењу одузимају, па разломљене изложиоце сводите на заједнички именилац: $\left(\frac{3}{2}\right)^{2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{7}{3}}$ . Пре рачунања бројеве раставите на просте чиниоце, на пример $16 = 2^4$ и $81 = 3^4$ , па изложиоце лако делите. Делимично кореновање: поткорену величину раставите на чиниоце чији је изложилац дељив изложиоцем корена, $\sqrt[3]{16x^4} = \sqrt[3]{8x^3 \cdot 2x} = 2x\sqrt[3]{2x}$ . Пазите да при преписивању не промените ниједан изложилац: ту се најлакше погреши.

Формат А, број n4

Дужа страница: 297,3 mm
Краћа страница: 210,2 mm
Дужа : краћа: 1,4142
Површина: 0,0625 m²

Сваким пресецањем површина се преполови, а однос страница остаје

\sqrt 2 \approx 1{,}4142

. Зато је дужа страница формата А

n

једнака

2^{\frac{1}{4} - \frac{n}{2}}

m. Испрекидана линија показује где се лист сече да би настао следећи формат, а сиви оквир је лист А0.

Формати папира А0, А1, …, А4 осмишљени су тако да пресецањем листа на пола настане лист истог облика, па су им странице, у метрима, степени двојке са разломљеним изложиоцем, заокружени на милиметар; по том стандарду раде штампарије и дизајнери.

Формат папира А4

Лист формата А0 има површину 1 m², а дужа страница је $\sqrt 2$ пута дужа од краће. Сваки следећи формат (А1, А2, …) добија се пресецањем претходног на пола по дужој страници. Израчунајте дужу страницу листа А4 као степен броја 2, па у милиметрима.

Решење

Ако је краћа страница А0 једнака $a$ , дужа је $a\sqrt 2$ , па је $a \cdot a\sqrt 2 = 1$ , тј. $a^2 = 2^{-\frac{1}{2}}$ и $a = 2^{-\frac{1}{4}}$ m. Дужа страница је $2^{-\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}}$ m.
При пресецању на пола краћа страница постаје дужа страница новог листа, па се дужа страница сваки пут помножи са $\frac{2^{-\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{-\frac{1}{2}}$ .
Од А0 до А4 има четири пресецања: $2^{\frac{1}{4}} \cdot \left(2^{-\frac{1}{2}}\right)^4 = 2^{\frac{1}{4} - 2} = 2^{-\frac{7}{4}}$ m.
$2^{-\frac{7}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2^7}} = \frac{1}{\sqrt[4]{128}} \approx \frac{1}{3{,}3636} \approx 0{,}2973$ m.

Одговор: Дужа страница листа А4 је $2^{-\frac{7}{4}}$ m, то јест око 297 mm.

Задатак за вежбу

На исти начин израчунајте дужу страницу формата А3 (три пресецања), као степен броја 2 и у милиметрима.

Прикажи решење

$2^{\frac{1}{4}} \cdot \left(2^{-\frac{1}{2}}\right)^3 = 2^{\frac{1}{4} - \frac{3}{2}} = 2^{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{32}} \approx 0{,}4204$ m, око 420 mm.