Логаритамске неједначине 2

Логаритми. Логаритамске неједначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску неједначину.

пр.4) ${\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant 0$

пр.5) ${\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0$

Пр.4 ${\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant 0$

Услов: Логаритам jе дефинисан кад

$\frac{{4x + 6}}{x} > 0$

Решимо ову неједначину табличном методом.

$4x + 6 = 0$	$x=0$
$4x = - 6$
$x = - \frac{3}{2}$

Решење услова: $x \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$

Прелазимо на решавање задатака.

$\begin{aligned}&{\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant 0 \\ &{\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant {\log _{\frac{1}{5}}}1\end{aligned}$

Пази!!! Окреће се смер ( $0 < \frac{1}{5} < 1$ )

$\begin{aligned}&\frac{{4x + 6}}{x} \leqslant 1 \\ &\frac{{4x + 6}}{x} - 1 \leqslant 0 \\ &\frac{{4x + 6 - x}}{x} \leqslant 0 \\ &\frac{{3x + 6}}{x} \leqslant 0\end{aligned}$

$3x + 6 = 0$	$x=0$
$3x = - 6$
$x = -2$

Добили смо: $x \in \left[ { - 2;0} \right)$

Упакуjмо

$x \in \left[ { - 2; - \frac{3}{2}} \right)$ - коначно решење.

Пр.5 ${\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0$

Услов: Логаритам jе дефинисан кад

$\left. {1.} \right){\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0$
$\left. {2.} \right)\left( {{x^2} - 5} \right) > 0$
Решимо прву неједначину

$\begin{aligned}&{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 \\ &{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > {\log _4}1 \\ &{x^2} - 5 > 1 \\ &{x^2} - 6 > 0 \\ &{x^2} - 6 = 0 \\ &x = \pm \sqrt 6\end{aligned}$

$x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( {\sqrt 6 ; + \infty } \right)$

Решимо другу неједначину

$\begin{aligned}&{x^2} - 5 > 0 \\ &{x^2} - 5 = 0 \\ &x = \pm \sqrt 5\end{aligned}$

$x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right) \cup \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)$

Решење услова: $x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( {\sqrt 6 ; + \infty } \right)$

Прелазимо на решавање задатака.

$\begin{aligned}&{\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 \\ &{\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{3}}}1\end{aligned}$

Пази!!! Окреће се смер ( $0 < \frac{1}{3} < 1$ )

$\begin{aligned}&{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) < 1 \\ &{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) < {\log _4}4 \\ &\left( {{x^2} - 5} \right) < 4 \\ &{x^2} - 9 < 0 \\ &{x^2} - 9 = 0 \\ &x = \pm 3\end{aligned}$

$x \in \left( { - 3;3} \right)$

Упакуjмо

$x \in \left( { - 3; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( {\sqrt {6;} 3} \right)$ - коначно решење.

Неједначину као $\log_{\frac{1}{5}} \frac{4x + 6}{x} \ge 0$ решавате у два корака. Прво одредите услов: аргумент мора бити позитиван, $\frac{4x+6}{x} > 0$ , што решавате табелом знакова, посебно за бројилац и именилац. Затим нулу напишите као логаритам, $0 = \log_{\frac{1}{5}} 1$ , и упоредите аргументе. Основа је мања од 1, па се знак окреће: $\frac{4x+6}{x} \le 1$ , тј. $\frac{3x+6}{x} \le 0$ .

Коначно решење је пресек са условом, овде $x \in \left[-2, -\frac{3}{2}\right)$ . Код угнежђеног логаритма, као $\log_{\frac{1}{3}} \log_4 (x^2 - 5) > 0$ , услов има два дела: $x^2 - 5 > 0$ и $\log_4 (x^2 - 5) > 0$ . Најчешћа грешка је да се смер не окрене кад је основа између 0 и 1.

Број x−1,75

Аргумент (4x + 6)/x: 0,571
Логаритам за основу 1/5: 0,348

Плаво је услов

\frac{4x+6}{x} > 0

, зелено решење неједначине после окретања знака, а црвено њихов пресек. Кад

x

уђе у интервал

\left(-\frac{3}{2}, 0\right]

, аргумент није позитиван и логаритам не постоји.

Фармацеути из полуживота лека рачунају колико дуго лек остаје у крви: број протеклих полуживота је логаритам односа концентрација за основу $\frac{1}{2}$ , па се граничне концентрације налазе логаритамским неједначинама.

Лек у крви

Концентрација једног лека у крви преполови се сваких 6 сати, а одмах после узимања износи $c_0 = 40\ \mathrm{mg/l}$ . Број полуживота протеклих од узимања је $k = \log_{\frac{1}{2}} \frac{c}{c_0}$ , где је $c$ тренутна концентрација. У фармакологији се обично узима да је лек практично избачен из крви кад протекне бар 5 полуживота, тј. кад је $k \ge 5$ . Колика је тада концентрација и после колико сати се то догоди?

Решење

Услов: $\frac{c}{40} > 0$ , тј. $c > 0$ . Решавамо $\log_{\frac{1}{2}} \frac{c}{40} \ge 5$ .
Број 5 пишемо као логаритам исте основе: $5 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}$ , јер је $\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$ .
Основа $\frac{1}{2}$ је мања од 1, па се знак окреће: $\frac{c}{40} \le \frac{1}{32}$ , тј. $c \le 1{,}25\ \mathrm{mg/l}$ , што је око 3% почетне концентрације.
Пет полуживота траје $5 \cdot 6 = 30$ сати.

Одговор: Лек је практично избачен кад му концентрација падне на $1{,}25\ \mathrm{mg/l}$ или мање, а то је 30 сати после узимања.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $\log_{\frac{1}{2}} \frac{x + 3}{x} \ge 0$ .

Прикажи решење

Услов: $\frac{x+3}{x} > 0$ , тј. $x < -3$ или $x > 0$ . Знак се окреће: $\frac{x+3}{x} \le 1$ , тј. $\frac{3}{x} \le 0$ , па $x < 0$ . Пресек: $x \in (-\infty, -3)$ .