Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Комплексни бројеви 6

Комплексни број. Степеновање комплексних бројева. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.13   Степеновати дати комплексни број.

             z=2+3iz = 2 + 3i      z2=?{z^2} = ?   z3=?{z^3} = ?

Пр.14   Одреди степен од z50{z^{50}} датог комплексног броја.

             z=1−iz = 1 - i      z50=?{z^{50}} = ?

Пр.15   Израчунај вресност следећег израза:

            (1+i)13(1−i)7=\frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{13}}}}{{{{\left( {1 - i} \right)}^7}}} =

Пр.13

z=2+3iz2=(2+3i)2=22+2⋅2⋅3i+(3i)2=4+12i+9i2==4+12i−9=−5+12iz3=(2+3i)3=23+3⋅22⋅3i+3⋅2⋅(3i)2+(3i)3==8+36i+6⋅9i2+27i3=8+36i−54−27i=−46+9i\begin{aligned}&z = 2 + 3i \\ &{z^2} = {\left( {2 + 3i} \right)^2} = {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot 3i + {\left( {3i} \right)^2} = 4 + 12i + 9{i^2} = \\ &= 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i \\ &{z^3} = {\left( {2 + 3i} \right)^3} = {2^3} + 3 \cdot {2^2} \cdot 3i + 3 \cdot 2 \cdot {\left( {3i} \right)^2} + {\left( {3i} \right)^3} = \\ &= 8 + 36i + 6 \cdot 9{i^2} + 27{i^3} = 8 + 36i - 54 - 27i = - 46 + 9i\end{aligned}

Пр.14

z=1−iz50=(1−i)50=((1−i)2)25=(1−2i−1)25=(−2i)25==−225⋅i6⋅4+1=−225⋅i\begin{aligned}&z = 1 - i \\ &{z^{50}} = {\left( {1 - i} \right)^{50}} = {\left( {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right)^{25}} = {\left( {1 - 2i - 1} \right)^{25}} = {\left( { - 2i} \right)^{25}} = \\ &= - {2^{25}} \cdot {i^{6 \cdot 4 + 1}} = - {2^{25}} \cdot i\end{aligned}

Пр. 15

(1+i)13(1−i)7=(1+i)(1+i)12(1−i)(1−i)6=(1+i)((1+i)2)6(1−i)((1−i)2)3==(1+i)(1+2i+i2)6(1−i)(1−2i+i2)3=(1+i)(2i)6(1−i)(−2i)3=(1+i)26i6(1−i)(−2)3i3==(1+i)8(−i)−(1−i)=8i(1+i)(1−i)=8i(1+i)(1−i)⋅1+i1+i=8i(1+i)21−i2==8i(1+2i+i2)2=16i22=−8\begin{aligned}&\frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{13}}}}{{{{\left( {1 - i} \right)}^7}}} = \frac{{\left( {1 + i} \right){{\left( {1 + i} \right)}^{12}}}}{{\left( {1 - i} \right){{\left( {1 - i} \right)}^6}}} = \frac{{\left( {1 + i} \right){{\left( {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right)}^6}}}{{\left( {1 - i} \right){{\left( {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right)}^3}}} = \\ &= \frac{{\left( {1 + i} \right){{\left( {1 + 2i + {i^2}} \right)}^6}}}{{\left( {1 - i} \right){{\left( {1 - 2i + {i^2}} \right)}^3}}} = \frac{{\left( {1 + i} \right){{\left( {2i} \right)}^6}}}{{\left( {1 - i} \right){{\left( { - 2i} \right)}^3}}} = \frac{{\left( {1 + i} \right){2^6}{i^6}}}{{\left( {1 - i} \right){{\left( { - 2} \right)}^3}{i^3}}} = \\ &= \frac{{\left( {1 + i} \right)8\left( { - i} \right)}}{{ - \left( {1 - i} \right)}} = \frac{{8i\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{8i\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)}} \cdot \frac{{1 + i}}{{1 + i}} = \frac{{8i{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{{1 - {i^2}}} = \\ &= \frac{{8i\left( {1 + 2i + {i^2}} \right)}}{2} = \frac{{16{i^2}}}{2} = - 8\end{aligned}

Комплексан број степенујете као бином: (a+bi)2=a2+2abi+b2i2=(a2−b2)+2abi(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = (a^2 - b^2) + 2abi, а за куб користите (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3. Не заборавите средњи члан бинома, јер из њега настаје имагинарни део 2ab2ab. При кубирању пазите на i3=−ii^3 = -i: (1+2i)3=1+6i+12i2+8i3=−11−2i(1 + 2i)^3 = 1 + 6i + 12i^2 + 8i^3 = -11 - 2i. Степене од ii сводите преко остатка при дељењу са 4: i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1.

Велики изложилац не рачунајте множењем редом. Искористите (1+i)2=2i(1 + i)^2 = 2i и (1−i)2=−2i(1 - i)^2 = -2i: (1+i)10=((1+i)2)5=(2i)5=32i5=32i(1 + i)^{10} = \left((1 + i)^2\right)^5 = (2i)^5 = 32i^5 = 32i. Код количника степена, на пример (1+i)9(1−i)5\frac{(1 + i)^9}{(1 - i)^5}, издвојите парне степене, примените те формуле и тек на крају поделите. Резултат можете проверити модулом, јер је ∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n. Честа грешка је (3i)2=9(3i)^2 = 9; тачно је (3i)2=9i2=−9(3i)^2 = 9i^2 = -9.

−3−2−1123−3−2−11230xyc = z₁z₂z₃
|z₂|
1,41
|z₃|
3,16
|z₄|
10,3
Тачке z1z_1, z2z_2, z3z_3, z4z_4 добијају се квадрирањем претходне и додавањем cc. Кад низ остаје у кругу полупречника 2, као за c=−1c = -1 или c=0,25c = 0{,}25, тачка припада Манделбротовом скупу. За c=−1+ic = -1 + i већ z3=−1+3iz_3 = -1 + 3i излази из круга.

Слике фрактала, као што је Манделбротов скуп, рачунар црта тако што за сваку тачку cc равни много пута понавља квадрирање z→z2+cz \to z^2 + c комплексних бројева.

Тачка фрактала

Програм који црта Манделбротов скуп за сваку тачку cc рачуна низ z0=0z_0 = 0, zn+1=zn2+cz_{n+1} = z_n^2 + c. Ако неки члан има модуо већи од 2, тачка није у скупу и боји се другом бојом. Проверите тачку c=−1+ic = -1 + i кроз прва три корака.

Решење

  1. z1=02+c=−1+iz_1 = 0^2 + c = -1 + i.
  2. z2=(−1+i)2+c=(1−2i+i2)+(−1+i)=−2i−1+i=−1−iz_2 = (-1 + i)^2 + c = (1 - 2i + i^2) + (-1 + i) = -2i - 1 + i = -1 - i.
  3. z3=(−1−i)2+c=(1+2i+i2)+(−1+i)=2i−1+i=−1+3iz_3 = (-1 - i)^2 + c = (1 + 2i + i^2) + (-1 + i) = 2i - 1 + i = -1 + 3i.
  4. ∣z3∣=(−1)2+32=10≈3,16>2|z_3| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}16 > 2.

Одговор: Већ после трећег корака је ∣z3∣=10>2|z_3| = \sqrt{10} > 2, па тачка −1+i-1 + i није у Манделбротовом скупу.

Задатак за вежбу

Израчунајте (1−2i)2(1 - 2i)^2, (1−2i)3(1 - 2i)^3 и (1−i)12(1 - i)^{12}.

Прикажи решење

(1−2i)2=1−4i+4i2=−3−4i(1 - 2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = -3 - 4i; (1−2i)3=(−3−4i)(1−2i)=−11+2i(1 - 2i)^3 = (-3 - 4i)(1 - 2i) = -11 + 2i; (1−i)12=(−2i)6=64i6=−64(1 - i)^{12} = (-2i)^6 = 64i^6 = -64.