Експоненцијалне неједначине 1

Решавање експоненцијалне неједначине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијалну неједначину.

пр.1) ${2^{x - 1}} > {4^5}$

пр.2) ${\left( {{3^{ - 1}}} \right)^{2x - 6}} > \frac{1}{{81}}$

пр,3) $0,125 \cdot {4^{2x - 3}} < {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{8}} \right)^{ - x}}$

пр.4) $16 < {2^{\frac{{x - 1}}{{2x}}}}$

Експоненцијалну неједначину сведите на облик $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ , са истом основом на обе стране. Даље одлучује основа. Ако је $a > 1$ , функција $a^x$ расте, па знак остаје: $f(x) > g(x)$ . Ако је $0 < a < 1$ , функција опада, па се знак окреће: $f(x) < g(x)$ . Основе препознајте као код једначина: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ , $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ , $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$ . Често је најлакше све записати са основом већом од 1, па знак не морате да окрећете. Ако изложилац садржи разломак са $x$ у имениоцу, добијена неједначина је разломљена и решава се табелом знакова, уз $x \neq 0$ . Честа грешка је не окренути знак кад је основа између 0 и 1.

a0,5

c4

x₀: −2

Зелени део осе

x

су решења неједначине

a^x > c

. Док је

a > 1

, решења су десно од пресека

x_0

; кад основа падне испод 1, функција опада и решења се преселе лево. Зато се при

0 < a < 1

знак окреће.

Неједначине са степенима одређују колико корака треба да величина падне испод неке границе или порасте изнад ње: колико сивих филтера фотограф ставља на објектив или колико пута треба преполовити узорак.

Сиви филтери на објективу

Фотограф снима водопад дугом експозицијом и на објектив слаже сиве филтере. Сваки филтер пропушта половину светлости која на њега падне. Колико најмање филтера треба да стави да до сензора стигне највише $\frac{1}{32}$ светлости?

Решење

Кроз $n$ филтера прође $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ светлости, па решавамо $\left(\frac{1}{2}\right)^n \leqslant \frac{1}{32}$ .
Десну страну записујемо са истом основом: $\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$ , па је $\left(\frac{1}{2}\right)^n \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^5$ .
Основа $\frac{1}{2}$ је мања од 1, функција опада, па се знак окреће: $n \geqslant 5$ .
Провера: четири филтера пропуштају $\frac{1}{16}$ , а пет тачно $\frac{1}{32}$ светлости.

Одговор: Фотограф треба да стави најмање 5 филтера.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2} > 27$ .

Прикажи решење

$27 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$ , па је $\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$ . Основа је мања од 1, знак се окреће: $x - 2 < -3$ , тј. $x < -1$ .