Квадратна једначина – решења 4

Квадратне једначине са апсолутном вредношћу.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3 Решити следећу квадратну једначину.

$2{x^2} - 5x + 3\left| {x - 2} \right| = 0$

Пр.4 Решити следећу једначину.

$x\left| {2x - 1} \right| - 4\left| {x - 1} \right| = - 1$

Пр.3

$\begin{aligned}&2{x^2} - 5x + 3\left| {x - 2} \right| = 0 \\ &\left| {x - 2} \right| = \left\{ \begin{aligned}&x - 2,x - 2 \geqslant 0 \\ &- \left( {x - 2} \right),x - 2 < 0\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x - 2,x \geqslant 2 \\ &- x + 2,x < 2\end{aligned} \right. \\ &2{x^2} - 5x + 3\left| {x - 2} \right| = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&2{x^2} - 5x + 3\left( {x - 2} \right) = 0,x \geqslant 2 \\ &2{x^2} - 5x + 3\left( { - x + 2} \right) = 0,x < 2\end{aligned} \right. \\ &2{x^2} - 5x + 3\left( {x - 2} \right) = 0 \\ &2{x^2} - 5x + 3x - 6 = 0 \\ &2{x^2} - 2x - 6 = 0\left| { \div 2} \right. \\ &{x^2} - x - 3 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 + 12} }}{2} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}\end{aligned}$

Решење коjе задовољава услове задатака $x \geqslant 2$ jе $x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}$

$\begin{aligned}&2{x^2} - 5x + 3\left( { - x + 2} \right) = 0 \\ &2{x^2} - 5x - 3x + 6 = 0 \\ &2{x^2} - 8x + 6 = 0 \\ &{x_{3,4}} = \frac{{8 \pm \sqrt {64 - 48} }}{4} \\ &{x_{3,4}} = \frac{{8 \pm 4}}{4} \\ &{x_3} = 2,{x_4} = 3\end{aligned}$

Ова решења не задовољаваjу услове задатака $x < 2$ .

Пр.4

$\begin{aligned}&x\left| {2x - 1} \right| - 4\left| {x - 1} \right| = - 1 \\ &\left| {2x - 1} \right| = \left\{ \begin{aligned}&2x - 1,2x - 1 \geqslant 0 \\ &- \left( {2x - 1} \right),2x - 1 < 0\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&2x - 1,x \geqslant \frac{1}{2} \\ &- \left( {2x - 1} \right),x < \frac{1}{2}\end{aligned} \right. \\ &\left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{aligned}&x - 1,x - 1 \geqslant 0 \\ &- \left( {x - 1} \right),x - 1 < 0\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x - 1,x \geqslant 1 \\ &- \left( {x - 1} \right),x < 1\end{aligned} \right. \\ &x\left| {2x - 1} \right| - 4\left| {x - 1} \right| = - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}&x\left( { - 2x + 1} \right) - 4\left( { - x + 1} \right) = - 1,x < \frac{1}{2} \\ &x\left( {2x - 1} \right) - 4\left( { - x + 1} \right) = - 1,\frac{1}{2} \leqslant x < 1 \\ &x\left( {2x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = - 1,x \geqslant 1\end{aligned} \right. \\ &- 2{x^2} + x + 4x - 4 + 1 = 0 \\ &- 2{x^2} + 5x - 3 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm 1}}{{ - 4}} \\ &{x_1} = \frac{3}{2},{x_2} = 1\end{aligned}$

Ови решења нису задовољаваjу услове задатака $x < \frac{1}{2}$ .

$\begin{aligned}&x\left( {2x - 1} \right) - 4\left( { - x + 1} \right) = - 1 \\ &2{x^2} - x + 4x - 4 + 1 = 0 \\ &2{x^2} + 3x - 3 = 0 \\ &{x_{3,4}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {33} }}{4}\end{aligned}$

Решење коjе задовољава услове задатака $\frac{1}{2} \leqslant x < 1$ jе $x = \frac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{4}$

$\begin{aligned}&x\left( {2x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = - 1 \\ &2{x^2} - x - 4x + 4 + 1 = 0 \\ &2{x^2} - 5x + 5 = 0 \\ &{x_{5,6}} = \frac{{5 \pm \sqrt { - 15} }}{4}\end{aligned}$

Ова једначина нема решење у скупу реалних бројева.

Квадратну једначину у којој је непозната под апсолутном вредношћу решавате по случајевима. Прво нађите где израз под апсолутном вредношћу мења знак: $|x - 2| = x - 2$ за $x \ge 2$ , а $|x - 2| = -(x - 2)$ за $x < 2$ . Тако добијате две обичне квадратне једначине, а са две апсолутне вредности три, и свака важи само на свом интервалу.

Решите сваку формулом, па задржите само решења која припадају том интервалу, а остала одбаците. Коначно решење је унија преосталих решења из свих случајева. Најчешћа грешка је прескочена провера интервала, а друга погрешан знак кад се ослободите заграде: $-3(x - 2) = -3x + 6$ . Добијена решења проверите у почетној једначини.

x−2

|x − 3|: 5
f(x): 5

Десно од праве

x = 3

график функције

f(x) = x^2 + 2|x - 3| - 9

иде по параболи

x^2 + 2x - 15

, а лево по параболи

x^2 - 2x - 3

. Нула

x = -5

прве параболе лежи у области где та парабола не важи, зато није решење.

Апсолутна вредност је растојање на бројевној правој, па овакве једначине настају кад се рачуна са одступањем од задате вредности, на пример са толеранцијом мере у машинству.

Загонетка са растојањем

Нађите све бројеве $x$ чији квадрат, увећан за двоструко растојање броја $x$ од броја 3 на бројевној правој, износи 9.

Решење

Растојање од 3 је $|x - 3|$ , па решавамо $x^2 + 2|x - 3| = 9$ .
За $x \ge 3$ : $x^2 + 2x - 6 = 9$ , тј. $x^2 + 2x - 15 = 0$ , па $x = 3$ или $x = -5$ . Услов $x \ge 3$ испуњава само $x = 3$ .
За $x < 3$ : $x^2 - 2x + 6 = 9$ , тј. $x^2 - 2x - 3 = 0$ , па $x = 3$ или $x = -1$ . Услов $x < 3$ испуњава само $x = -1$ .
Провера: $3^2 + 2 \cdot 0 = 9$ и $(-1)^2 + 2 \cdot 4 = 9$ .

Одговор: Тражени бројеви су $x = 3$ и $x = -1$ .

Задатак за вежбу

Решите једначину $x^2 - 4|x| + 3 = 0$ .

Прикажи решење

За $x \ge 0$ : $x^2 - 4x + 3 = 0$ , па $x = 1$ или $x = 3$ (оба важе). За $x < 0$ : $x^2 + 4x + 3 = 0$ , па $x = -1$ или $x = -3$ (оба важе). Решења су $\pm 1$ и $\pm 3$ .