Логаритми. Логаритамске неједначине. Сложенији примери.
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Решити логаритамску неједначину.
пр.4) ${\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant 0$
пр.5) ${\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0$
Пр.4 ${\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant 0$
Услов: Логаритам jе дефинисан кад
\[\frac{{4x + 6}}{x} > 0\]
Решимо ову неједначину табличном методом.
| $4x + 6 = 0 $ |
$x=0$ |
| $4x = - 6$ |
|
| $x = - \frac{3}{2}$ |
|
Решење услова: $x \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$
Прелазимо на решавање задатака.
\[\begin{gathered}
{\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant 0 \hfill \\
{\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant {\log _{\frac{1}{5}}}1 \hfill \\
\end{gathered} \]
Пази!!! Окреће се смер ($0 < \frac{1}{5} < 1$)
\[\begin{gathered}
\frac{{4x + 6}}{x} \leqslant 1 \hfill \\
\frac{{4x + 6}}{x} - 1 \leqslant 0 \hfill \\
\frac{{4x + 6 - x}}{x} \leqslant 0 \hfill \\
\frac{{3x + 6}}{x} \leqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \]
| $3x + 6 = 0 $ |
$x=0$ |
| $3x = - 6$ |
|
| $x = -2$ |
|
Добили смо: $x \in \left[ { - 2;0} \right)$
Упакуjмо
$x \in \left[ { - 2; - \frac{3}{2}} \right)$ - коначно решење.
Пр.5 ${\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0$
Услов: Логаритам jе дефинисан кад
$ \left. {1.} \right){\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 $
$ \left. {2.} \right)\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 $
Решимо прву неједначину
\[\begin{gathered}
{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 \hfill \\
{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > {\log _4}1 \hfill \\
{x^2} - 5 > 1 \hfill \\
{x^2} - 6 > 0 \hfill \\
{x^2} - 6 = 0 \hfill \\
x = \pm \sqrt 6 \hfill \\
\end{gathered} \]
\[x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( {\sqrt 6 ; + \infty } \right)\]
Решимо другу неједначину
\[\begin{gathered}
{x^2} - 5 > 0 \hfill \\
{x^2} - 5 = 0 \hfill \\
x = \pm \sqrt 5 \hfill \\
\end{gathered} \]
\[x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right) \cup \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\]
Решење услова: $x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( {\sqrt 6 ; + \infty } \right)$
Прелазимо на решавање задатака.
\[\begin{gathered}
{\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 \hfill \\
{\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{3}}}1 \hfill \\
\end{gathered} \]
Пази!!! Окреће се смер ($0 < \frac{1}{3} < 1$)
\[\begin{gathered}
{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) < 1 \hfill \\
{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) < {\log _4}4 \hfill \\
\left( {{x^2} - 5} \right) < 4 \hfill \\
{x^2} - 9 < 0 \hfill \\
{x^2} - 9 = 0 \hfill \\
x = \pm 3 \hfill \\
\end{gathered} \]
\[x \in \left( { - 3;3} \right)\]
Упакуjмо
$x \in \left( { - 3; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( {\sqrt {6;} 3} \right)$- коначно решење.