Степеновање – решени задаци 3

Примена правила за степеновање на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5 Упрости дати израз: $\frac{{{{\left( {a{b^{ - 1}} + 1} \right)}^2}}}{{a{b^{ - 1}} - {a^{ - 1}}b}}.\frac{{{a^3}{b^{ - 3}} - 1}}{{{a^2}{b^{ - 2}} + a{b^{ - 1}} + 1}}:\frac{{{a^3}{b^{ - 3}} + 1}}{{a{b^{ - 1}} + {a^{ - 1}}b - 1}} =$ .

Пр.5

$\begin{aligned}&\frac{{{{\left( {a{b^{ - 1}} + 1} \right)}^2}}}{{a{b^{ - 1}} - {a^{ - 1}}b}}.\frac{{{a^3}{b^{ - 3}} - 1}}{{{a^2}{b^{ - 2}} + a{b^{ - 1}} + 1}}:\frac{{{a^3}{b^{ - 3}} + 1}}{{a{b^{ - 1}} + {a^{ - 1}}b - 1}} = \\ &\frac{{{{\left( {a\frac{1}{b} + 1} \right)}^2}}}{{a\frac{1}{b} - \frac{1}{a}b}}.\frac{{{a^3}\frac{1}{{{b^3}}} - 1}}{{{a^2}\frac{1}{{{b^2}}} + a\frac{1}{b} + 1}}:\frac{{{a^3}\frac{1}{{{b^3}}} + 1}}{{a\frac{1}{b} + \frac{1}{a}b - 1}} = \\ &= \frac{{{{\left( {\frac{a}{b} + 1} \right)}^2}}}{{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}}.\frac{{\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} - 1}}{{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{a}{b} + 1}}:\frac{{\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + 1}}{{\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 1}} = \\ &= \frac{{{{\left( {\frac{{a + b}}{b}} \right)}^2}}}{{\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{ab}}}}.\frac{{\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{b^3}}}}}{{\frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{{b^2}}}}}:\frac{{\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{b^3}}}}}{{\frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{ab}}}} = \\ &= \frac{{\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{b^2}}}}}{{\frac{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}{{ab}}}}.\frac{{{b^2}\left( {{a^3} - {b^3}} \right)}}{{{b^3}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}:\frac{{ab\left( {{a^3} + {b^3}} \right)}}{{{b^3}\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}} = \\ &= \frac{{ab{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{b^2}\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}.\frac{{\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}{{b\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}} \cdot \frac{{{b^3}\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}}{{ab\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}} = \\ &= 1\end{aligned}$

Услови:

$\begin{aligned}&a \ne 0 \\ &b \ne 0 \\ &a \ne \pm b\end{aligned}$

Сложене изразе са негативним изложиоцима упрошћавате увек истим редом. Прво сваки степен са негативним изложиоцем препишите као разломак: $ab^{-1} = \frac{a}{b}$ , $a^{-1}b = \frac{b}{a}$ . Затим у сваком бројиоцу и имениоцу сведите на заједнички именилац, а добијене полиноме раставите на чиниоце: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ . Дељење замените множењем реципрочном вредношћу и скратите исте чиниоце. Скраћују се само чиниоци, никад сабирци. На крају напишите услове: ниједан именилац, ни у почетном ни у сређеном облику, не сме бити нула, на пример $a \ne 0$ , $b \ne 0$ , $a \ne \pm b$ . Без услова решење није потпуно.

R₁6 Ω

R₂12 Ω

(R₁⁻¹ + R₂⁻¹)⁻¹: 4 Ω
R₁R₂ : (R₁ + R₂): 4 Ω

Крива је нацртана по неупрошћеној формули

\left(R_1^{-1} + R_2^{-1}\right)^{-1}

, а друга вредност испод рачуна се по упрошћеној

\frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}

: увек су једнаке. Укупан отпор је мањи од мањег отпорника и приближава се

R_1

кад

R_2

расте.

Електричари и физичари често добијају формуле са негативним изложиоцима, као што је отпор паралелно везаних отпорника $R = \left(R_1^{-1} + R_2^{-1}\right)^{-1}$ , и упрошћавају их пре рачунања.

Отпорници у паралелној вези

Електричар везује паралелно два отпорника, $R_1$ и $R_2$ . Укупан отпор је $R = \left(R_1^{-1} + R_2^{-1}\right)^{-1}$ . Упростите формулу, наведите услове и израчунајте $R$ за $R_1 = 6$ Ω и $R_2 = 12$ Ω.

Решење

Негативне изложиоце препишемо као разломке: $R_1^{-1} + R_2^{-1} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ .
Сводимо на заједнички именилац: $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1R_2}$ .
Изложилац $-1$ окреће разломак: $R = \left(\frac{R_1 + R_2}{R_1R_2}\right)^{-1} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ , уз услове $R_1 \ne 0$ , $R_2 \ne 0$ и $R_1 \ne -R_2$ .
За дате отпорнике: $R = \frac{6 \cdot 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4$ Ω.

Одговор: Упрошћена формула је $R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ , а укупан отпор је 4 Ω.

Задатак за вежбу

Упростите израз $\frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-2} - b^{-2}}$ и наведите услове.

Прикажи решење

$\frac{\frac{b - a}{ab}}{\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}} = \frac{b - a}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{ab}{a + b}$ , за $a \ne 0$ , $b \ne 0$ , $a \ne \pm b$ .