Паралелограм и правоугаоник, решени примери.
Текст задатака објашњених у видео лекцији:
Пр.3) Нека су ${d_1}$ и ${d_2}$ дијагонале паралелограма чији је оштар угао $\alpha = {60^ \circ }$. Одредити $a:b$ ако је $d_1^2:d_2^2 = 3:1$.
Пр.4) Израчунати површину и обим паралелограма ако је дужина страница правоугаоника $a = 6\sqrt 3 cm$, а оштар угао између дијагонала $\varphi = {60^ \circ }$.
Пр.3

\[\begin{gathered}
d_1^2 = 3d_2^2 \hfill \\
d_2^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos {60^ \circ } \hfill \\
d_2^2 = {a^2} + {b^2} - ab \hfill \\
\hfill \\
d_1^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos {120^ \circ } \hfill \\
d_1^2 = {a^2} + {b^2} + ab \hfill \\
\hfill \\
d_1^2 = 3d_2^2 \hfill \\
{a^2} + {b^2} + ab = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) \hfill \\
{a^2} + {b^2} + ab = 3{a^2} + 3{b^2} - 3ab \hfill \\
- 2{a^2} - 2{b^2} + 4ab = 0 \hfill \\
{a^2} + {b^2} - 2ab = 0 \hfill \\
{\left( {a - b} \right)^2} = 0 \hfill \\
a - b = 0 \hfill \\
a = b \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.4

Знамо да у правоугаонику дијагонале једнаке и тачка пресека је њихово средиште, онда црвен троугао је једнакостранични. $b = \frac{d}{2}$
Зелени троугао је правоугли. Онда
\[\begin{gathered}
{d^2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\
{d^2} = {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{d}{2}} \right)^2} \hfill \\
{d^2} = 108 + \frac{{{d^2}}}{4} \hfill \\
4{d^2} = 432 + {d^2} \hfill \\
3{d^2} = 432 \hfill \\
{d^2} = 144 \hfill \\
d = 12cm \hfill \\
\end{gathered} \]
\[b = 12:2 = 6cm\]
\[\begin{gathered}
O = 2a + 2b \hfill \\
O = 12\sqrt 3 + 12 \hfill \\
O = 12\left( {\sqrt 3 + 1} \right)cm \hfill \\
\hfill \\
P = a \cdot b \hfill \\
P = 6\sqrt 3 \cdot 6 \hfill \\
P = 36\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]