Зарубљена пирамида – примери 1

Површина и запремина зарубљене пирамиде. Тространа зарубљена пирамида.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Површина правилне четворостране зарубљене пирамиде је $2048c{m^2}$ , а њене осовице су 22cm и 8cm. Израчунати запремину пирамиде.

Пр.2) Израчунати површину и запремину правилне шестостране зарубљене пирамиде ако је полупречник кружнице описане око доње основе $6\sqrt 3 cm$ , полупречник кружнице описане око горње основе $2\sqrt 3 cm$ , а нагиб бочне ивице према равни основе ${60^ \circ }$ .

Пр.1)

226

$\begin{aligned}&V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}} + {B_2}} \right) \\ &P = {B_1} + {B_2} + M \\ &P = {a^2} + {b^2} + 4\frac{{a + b}}{2}h \\ &2048 = {22^2} + {8^2} + 4\frac{{22 + 8}}{2}h \\ &2048 = 484 + 64 + 60h \\ &60h = 2048 - 484 - 64 \\ &60h = 1500 \\ &h = 25cm \\ & \\ &{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2} - \frac{b}{2}} \right)^2} \\ &625 = {H^2} + {\left( {11 - 4} \right)^2} \\ &{H^2} = 625 - 49 \\ &{H^2} = 576 \\ &H = 24cm \\ & \\ &V = \frac{{24}}{3}\left( {484 + 22 \cdot 8 + 64} \right) \\ &V = 5792c{m^3}\end{aligned}$

Пр.2)

Означимо cа ${R_a}$ полупречник кружнице описане око доње основе, са ${R_b}$ полупречник кружнице описане око горње основе.

${R_a} = a = 2\sqrt 3 cm,{R_b} = b = 6\sqrt 3 cm$

229

У жутом троуглу:

$\begin{aligned}&tg{60^ \circ } = \frac{H}{{a - b}} \\ &\sqrt 3 = \frac{H}{{4\sqrt 3 }} \\ &H = 12cm\end{aligned}$

У плавом троуглу:

$\begin{aligned}&{h^2} = {H^2} + {6^2} \\ &{h^2} = {12^2} + {6^2} \\ &{h^2} = 180 \\ &h = 6\sqrt 5 cm\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{6\sqrt 3 \sqrt 3 }}{2} = 9cm \\ &{h_b} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 \sqrt 3 }}{2} = 3cm\end{aligned}$

$\begin{aligned}&P = {B_1} + {B_2} + M \\ &P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 6 \cdot \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} + 6 \cdot \frac{{a + b}}{2}h \\ &P = 6 \cdot \frac{{36 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} + 6 \cdot \frac{{4 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} + 6 \cdot \frac{{6\sqrt 3 + 2\sqrt 3 }}{2} \cdot 6\sqrt 5 \\ &P = 162\sqrt 3 + 18\sqrt 3 + 24\sqrt 3 \cdot 6\sqrt 5 \\ &P = 180\sqrt 3 + 144\sqrt {15} \\ &P = 36\left( {5\sqrt 3 + 4\sqrt {15} } \right)c{m^2} \\ & \\ &V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}} + {B_2}} \right) \\ &V = \frac{{12}}{3}\left( {162\sqrt 3 + \sqrt {162\sqrt 3 \cdot 18\sqrt 3 } + 18\sqrt 3 } \right) \\ &V = 936\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$

У задацима са зарубљеном пирамидом прво се налазе апотема $h$ и висина $H$ из правоуглих трапеза. За правилну четворострану је $h^2 = H^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$ . Кад је дата површина, из $P = a^2 + b^2 + 4 \cdot \frac{a + b}{2} \cdot h$ следи $h$ , затим $H$ , па запремина $V = \frac{H}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right)$ .

Код шестостране зарубљене пирамиде полупречник описане кружнице једнак је ивици, $R = a$ , па нагиб бочне ивице даје $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{a - b}$ , а апотема је $h^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$ са $r = \frac{a\sqrt3}{2}$ . Код квадрата је $\sqrt{B_1B_2} = ab$ , што скраћује рачун. Кад посуда нема поклопац, у утрошени материјал улази само једна основа. Пазите: нагиб ивице иде са разликом полупречника $R$ , а нагиб стране са разликом полупречника $r$ .

Доња ивица b30 cm

Горња ивица a50 cm

Висина H24 cm

Апотема h: 26 cm
Дно и бочне стране: 5060 cm²
Запремина V: 39,2 l

Почетне мере су мере канте: апотема 26 cm, лим за дно и стране 5060 cm², запремина 39,2 l. Висина, апотема и половина разлике ивица граде правоугли троугао.

Лимари и произвођачи посуда из утрошеног материјала и мера отвора рачунају запремину канти, сандука и левака, а грађевинари запремину бетона за темеље стубова.

Лимена канта

Лимар прави канту без поклопца у облику правилне четворостране зарубљене пирамиде: горња ивица је 50 cm, доња 30 cm. За дно и бочне стране утрошио је 5060 cm² лима. Колико литара стане у канту?

Решење

Дно има $30^2 = 900$ cm², па на бочне стране отпада $M = 5060 - 900 = 4160$ cm².
Омотач чине четири трапеза: $M = 4 \cdot \frac{50 + 30}{2} \cdot h = 160h$ , па је $h = 4160 : 160 = 26$ cm.
У правоуглом трапезу: $H^2 = h^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = 26^2 - 10^2 = 576$ , па је $H = 24$ cm.
Запремина: $V = \frac{24}{3}\left(50^2 + 50 \cdot 30 + 30^2\right) = 8 \cdot 4900 = 39\,200$ cm³.

Одговор: У канту стане 39,2 литра.

Задатак за вежбу

Полупречници кружница описаних око основа правилне шестостране зарубљене пирамиде су 8 cm и 4 cm, а бочне ивице нагнуте су према основи под углом од $45^\circ$ . Израчунајте висину, бочну ивицу и запремину.

Прикажи решење

$a = 8$ cm и $b = 4$ cm, $H = (8 - 4)\operatorname{tg} 45^\circ = 4$ cm, $s = 4\sqrt2$ cm. $B_1 = 96\sqrt3$ , $B_2 = 24\sqrt3$ и $\sqrt{B_1B_2} = 48\sqrt3$ (cm²), па је $V = \frac{4}{3} \cdot 168\sqrt3 = 224\sqrt3 \approx 388$ cm³.