Аналитчка геометрија, вектори – примери 3

Линеарна зависност вектора. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Одредити линеарну зависност јединичних вектора $\overrightarrow i$ , $\overrightarrow j$ и $\overrightarrow k$ у правцу $x$ , $y$ и $z$ - осе редом.

Пр.2) Одредити линеарну зависност вектора: $\overrightarrow a \left( {5,4,3} \right),\overrightarrow b \left( {3,3,2} \right),\overrightarrow c \left( {8,1,3} \right)$ .

Пр.1)

$\begin{aligned}&\alpha \overrightarrow i + \beta \overrightarrow j + \gamma \overrightarrow k = \overrightarrow 0 \\ &\alpha \left( {1;0;0} \right) + \beta \left( {0;1;0} \right) + \gamma \left( {0;0;1} \right) = \left( {0;0;0} \right) \\ &\left( {\alpha ;0;0} \right) + \left( {0;\beta ;0} \right) + \left( {0;0;\gamma } \right) = \left( {0;0;0} \right) \\ &\left( {\alpha ;\beta ;\gamma } \right) = \left( {0;0;0} \right) \\ & \\ &\alpha = 0 \\ &\beta = 0 \\ &\gamma = 0\end{aligned}$

$\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k$ линеарне независне

Пр.2)

$\begin{aligned}&\alpha \overrightarrow a + \beta \overrightarrow b + \gamma \overrightarrow c = \overrightarrow 0 \\ &\alpha \left( {5;4;3} \right) + \beta \left( {3;3;2} \right) + \gamma \left( {8;1;3} \right) = \left( {0;0;0} \right) \\ &\left( {5\alpha ;4\alpha ;3\alpha } \right) + \left( {3\beta ;3\beta ;2\beta } \right) + \left( {8\gamma ;\gamma ;3\gamma } \right) = \left( {0;0;0} \right) \\ &\left( {5\alpha + 3\beta + 8\gamma ;4\alpha + 3\beta + \gamma ;3\alpha + 2\beta + 3\gamma } \right) = \left( {0;0;0} \right) \\ &5\alpha + 3\beta + 8\gamma = 0 \\ &4\alpha + 3\beta + \gamma = 0 \\ &\underline {3\alpha + 2\beta + 3\gamma = 0} \\ &4\alpha + 3\beta + \gamma = 0 \\ &- 27\alpha - 21\beta = 0 \\ &\underline { - 9\alpha - 7\beta = 0} \\ &4\alpha + 3\beta + \gamma = 0 \\ &\underline { - 9\alpha - 7\beta = 0} \\ &\alpha = - \frac{{7\beta }}{9} \\ &\underline {4\left( { - \frac{{7\beta }}{9}} \right) + 3\beta + \gamma = 0} \\ &\alpha = - \frac{{7\beta }}{9} \\ &\gamma = - 3\beta + \frac{{28\beta }}{9} = \frac{1}{9}\beta \\ &\left( {\alpha ;\beta ;\gamma } \right) = \left( { - \frac{{7\beta }}{9};\beta ;\frac{1}{9}\beta } \right)\end{aligned}$

$\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow c$ линеарно зависне.

Вектори $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ су линеарно зависни ако постоје бројеви $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , који нису сви нула, такви да је $\alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b} + \gamma\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ . Тада се бар један од њих изражава преко осталих. Ако једнакост важи само за $\alpha = \beta = \gamma = 0$ , вектори су линеарно независни, као $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ .

Поступак: распишите једнакост по координатама и добијете хомоген систем од три једначине. Решите га елиминацијом. Ако систем има само решење $(0, 0, 0)$ , вектори су независни; ако једна непозната остане слободна, зависни су. Два вектора су зависна кад су колинеарна, а три кад су компланарна.

Коефицијент α1

Коефицијент β0,5

Одмак од равни h0

Запремина паралелепипеда: 0

Док је одмак

h = 0

, вектор

\overrightarrow{c} = \alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b}

лежи у равни вектора

\overrightarrow{a}

и

\overrightarrow{b}

: вектори су линеарно зависни и паралелепипед над њима је спљоштен. Чим

h

није нула,

\overrightarrow{c}

излази из равни и вектори су независни.

Кад се састојци, легуре или храна описују векторима састава, линеарна зависност показује да се један производ може добити мешањем других, па га не треба посебно куповати.

Три смеше сточне хране

Пољопривредник код Шапца бира између три смеше сточне хране. У 100 g, изражено у грамима протеина, масти и влакана, смеша $A$ има састав $\overrightarrow{a} = (24, 4, 6)$ , смеша $B$ састав $\overrightarrow{b} = (18, 10, 3)$ , а смеша $C$ састав $\overrightarrow{c} = (22, 6, 5)$ . Испитајте да ли су ови вектори линеарно зависни. Може ли се смеша $C$ направити мешањем смеша $A$ и $B$ ?

Решење

Из $\alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b} + \gamma\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ добијамо систем: $24\alpha + 18\beta + 22\gamma = 0$ , $4\alpha + 10\beta + 6\gamma = 0$ , $6\alpha + 3\beta + 5\gamma = 0$ .
Трећу једначину помножимо са 4 и одузмемо од прве: $6\beta + 2\gamma = 0$ , па је $\gamma = -3\beta$ .
Уврстимо у другу: $4\alpha + 10\beta - 18\beta = 0$ , па је $\alpha = 2\beta$ . Трећа је испуњена: $12\beta + 3\beta - 15\beta = 0$ .
За $\beta = 1$ : $2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ , па су вектори линеарно зависни и $\overrightarrow{c} = \frac{2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{3}$ .

Одговор: Вектори су линеарно зависни: 2 kg смеше $A$ и 1 kg смеше $B$ дају 3 kg хране истог састава као смеша $C$ .

Задатак за вежбу

Испитајте да ли су вектори $\overrightarrow{a} = (1, 2, 0)$ , $\overrightarrow{b} = (0, 1, 3)$ и $\overrightarrow{c} = (1, 0, 1)$ линеарно зависни.

Прикажи решење

Систем $\alpha + \gamma = 0$ , $2\alpha + \beta = 0$ , $3\beta + \gamma = 0$ даје $\gamma = -\alpha$ , $\beta = -2\alpha$ , па $-6\alpha - \alpha = 0$ и $\alpha = 0$ . Онда је и $\beta = \gamma = 0$ : вектори су линеарно независни.