Кружница 1

Једначина кружнице. Одређивање полупречника и координата центра. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Одреди центар и полупречник кружнице:

а) ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 2$

б) ${x^2} + {y^2} - 4x = 0$

в) ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 15 = 0$

г)

9{x^2} + 9{y^2} + 36x - 18y + 20 = 0

Пр.1)

$\boxed{{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {r^2}}$

a) ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 2$
$S\left( {4, - 6} \right),r = \sqrt 2$

б) ${x^2} + {y^2} - 4x = 0$
$\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 4 + {y^2} = 0$
${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} = 4$
$S\left( {2,0} \right),r = 2$

в) ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 15 = 0$
$\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 1 + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) - 9 - 15 = 0$
${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$
$S\left( {1, - 3} \right),r = 5$

г) $9{x^2} + 9{y^2} + 36x - 18y + 20 = 0\left| {:9} \right.$
$\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - 4 + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) - 1 + \frac{{20}}{9} = 0$
${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5 - \frac{{20}}{9}$
${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{25}}{9}$
$S\left( { - 2,1} \right),r = \frac{5}{3}$

Кружница са центром $S(a, b)$ и полупречником $r$ има једначину $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ . Из облика $(x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 2$ одмах читате $S(4, -6)$ и $r = \sqrt{2}$ : координата центра има супротан знак од броја у загради.

Ако је једначина развијена, $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ , групишите чланове са $x$ и са $y$ и допуните их до потпуних квадрата, на пример $x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ . Ако уз $x^2$ и $y^2$ стоји исти број различит од 1, прво поделите целу једначину њиме. Кад на десној страни остане позитиван број, он је $r^2$ ; ако је нула или негативан, једначина не описује кружницу. Честа грешка је да се заборави одузети број који је додат при допуни до квадрата.

Полупречник r5

Коефицијент уз x: −2a: −12
Коефицијент уз y: −2b: −8
Слободни члан a² + b² − r²: 27
За село V: (x − a)² + (y − b)² − r²: −7

Развијена једначина је

x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0

: коефицијенти уз

x

и

y

зависе само од центра, а слободни члан и од полупречника. Село

V

је у домету кад је последњи број негативан; у примеру је то

18 - 25 = -7

.

Домет предајника, радара или прскалице на мапи је круг: тачка $(x, y)$ је у домету ако је $(x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2$ . Кад је кружница задата развијеном једначином, центар и домет добијају се допуном до квадрата.

Домет предајника

На мапи са јединицом 1 km ивица подручја које покрива радио-предајник задата је једначином $x^2 + y^2 - 12x - 8y + 27 = 0$ . Где се налази предајник, колики му је домет и да ли покрива село у тачки $(3, 1)$ ?

Решење

Групишемо: $(x^2 - 12x) + (y^2 - 8y) + 27 = 0$ .
Допуна до квадрата: $(x - 6)^2 - 36 + (y - 4)^2 - 16 + 27 = 0$ , тј. $(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 25$ .
Центар је $S(6, 4)$ , а $r = \sqrt{25} = 5$ .
За село: $(3 - 6)^2 + (1 - 4)^2 = 9 + 9 = 18 < 25$ , па је село унутар круга.

Одговор: Предајник је у тачки $(6, 4)$ , домет му је 5 km, а село у тачки $(3, 1)$ је у покривеном подручју.

Задатак за вежбу

Одредите центар и полупречник кружнице $4x^2 + 4y^2 - 8x + 16y - 5 = 0$ .

Прикажи решење

Поделимо са 4: $x^2 + y^2 - 2x + 4y - \frac{5}{4} = 0$ . Допуна до квадрата даје $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = \frac{5}{4} + 1 + 4 = \frac{25}{4}$ , па је $S(1, -2)$ и $r = \frac{5}{2}$ .