Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 6

Међусобни положај правих. Угао између две праве, услов паралелености и услов нормалности. Примена на троугао. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Одредити угао пресека између правих $p: - 3x + 2y - 5 = 0$ и

$q: - x + 5y + 7 = 0$ .

Пр.2) Одредити угао пресека између правих $p:5x + y - 9 = 0$ и

$q:x - 5y - 7 = 0$ .

Пр.3) Одредити једначину праве која пролази кроз тачку $A\left( {2, - 4} \right)$

и папаралелна је са правом $p:2x - 3y + 6 = 0$ .

Пр.1)

$\begin{aligned}&\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {p:{\text{ }} - {\text{ }}3x{\text{ }} + {\text{ }}2y{\text{ }} - {\text{ }}5{\text{ }} = {\text{ }}0}&{}&{q:{\text{ }} - {\text{ }}x{\text{ }} + {\text{ }}5y{\text{ }} + {\text{ }}7{\text{ }} = {\text{ }}0} \\ {p:{\text{ }}y{\text{ = }}\frac{3}{2}x{\text{ }} - {\text{ }}\frac{5}{2}{\text{ }}}&{}&{q:{\text{ }}y{\text{ = }}\frac{1}{5}x{\text{ }} - {\text{ }}\frac{7}{5}} \\ {{k_p} = \frac{3}{2}}&{}&{{k_q} = \frac{1}{5}} \end{array} \\ & \\ &tg\varphi = \left| {\frac{{{k_2} - {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right| \\ &tg\varphi = \left| {\frac{{\frac{3}{2} - \frac{1}{5}}}{{1 + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}}}} \right| = \left| {\frac{{\frac{{15 - 2}}{{10}}}}{{1 + \frac{3}{{10}}}}} \right| = 1 \\ &\varphi = {45^ \circ }\end{aligned}$

Пр.2)

$\begin{aligned}&\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {p:5x{\text{ }} + {\text{ }}y{\text{ }} - {\text{ }}9{\text{ }} = {\text{ }}0}&{}&{q:x{\text{ }} - {\text{ }}5y{\text{ }} - {\text{ }}7{\text{ }} = {\text{ }}0} \\ {p:{\text{ }}y{\text{ = }} - 5x{\text{ }} + 9{\text{ }}}&{}&{q:{\text{ }}y{\text{ = }}\frac{1}{5}x{\text{ }} - {\text{ }}\frac{7}{5}} \\ {{k_p} = - 5}&{}&{{k_q} = \frac{1}{5}} \end{array} \\ & \\ &{k_p} = - \frac{1}{{{k_q}}} \\ &- 5 = - \frac{1}{{\frac{1}{5}}} = - 5 \\ &\measuredangle \left( {p,q} \right) = {90^ \circ }\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&p:2x{\text{ }} - {\text{ }}3y{\text{ }} + {\text{ }}6{\text{ }} = {\text{ }}0 \\ &p: - 3y = - 2x + 2 \\ &p:{\text{ }}y{\text{ = }}\frac{2}{3}x{\text{ }} + 2{\text{ }} \\ &{k_p} = \frac{2}{3} \\ &q:{\text{ }}y{\text{ = }}{k_q}x{\text{ }} + n \\ &q\parallel p \Leftrightarrow {k_q} = {k_p} \Rightarrow {k_q} = \frac{2}{3} \\ &q:{\text{ }}y{\text{ = }}\frac{2}{3}x{\text{ }} + n \\ &A\left( {2, - 4} \right) \in q \Rightarrow - 4{\text{ = }}\frac{2}{3} \cdot 2{\text{ }} + n \Rightarrow n = - \frac{{16}}{3} \\ &q:{\text{ }}y{\text{ = }}\frac{2}{3}x{\text{ }} - \frac{{16}}{3}\end{aligned}$

Угао $\varphi$ између две праве са коефицијентима правца $k_1$ и $k_2$ рачунате по формули $\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|$ ; апсолутна вредност даје оштар угао. Праве прво доведите на облик $y = kx + n$ да прочитате коефицијенте: из $-3x + 2y - 5 = 0$ следи $y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$ , па је $k = \frac{3}{2}$ .

Праве су паралелне ако је $k_1 = k_2$ , а нормалне ако је $k_1k_2 = -1$ ; тада је именилац у формули нула и угао је $90^\circ$ . Паралелу кроз задату тачку пишете са истим $k$ , а нормалу са $k = -\frac{1}{k_1}$ , па $n$ одредите из услова да тачка лежи на правој. Пазите на знак кад $y$ изражавате из општег облика.

k₁ (права p): 3
k₂ (права q): −0,5
Оштар угао φ: 81,9°

Померајте тачке на правама и пратите коефицијенте и угао. Кад је

k_1 k_2 = -1

, угао је прав; кад су коефицијенти једнаки, праве су паралелне и не секу се. На почетку су улице из примера.

Пројектанти путева на плану проверавају под којим се углом секу улице, јер раскрсница под оштрим углом смањује прегледност. Геометри истим рачуном обележавају међе паралелне са путем.

Угао између две улице

На плану града улица $p$ лежи на правој $3x - y - 2 = 0$ , а улица $q$ на правој $x + 2y - 10 = 0$ . Под којим углом се улице секу и где је раскрсница? Напишите и једначину нове улице кроз тачку $A(1, 6)$ паралелне са улицом $p$ .

Решење

Из $p$ : $y = 3x - 2$ , па је $k_1 = 3$ . Из $q$ : $y = -\frac{1}{2}x + 5$ , па је $k_2 = -\frac{1}{2}$ .
$\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{-\frac{1}{2} - 3}{1 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}\right| = \left|\frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}}\right| = 7$ , па је $\varphi \approx 81{,}9^\circ$ .
Раскрсница: из $3x - 2 = -\frac{1}{2}x + 5$ следи $x = 2$ и $y = 4$ , тачка $(2, 4)$ .
Паралела са $p$ има $k = 3$ : $y = 3x + n$ , а из $6 = 3 \cdot 1 + n$ следи $n = 3$ . Нова улица је $y = 3x + 3$ , тј. $3x - y + 3 = 0$ .

Одговор: Улице се секу у тачки $(2, 4)$ под углом од око $81{,}9^\circ$ , а нова улица лежи на правој $3x - y + 3 = 0$ .

Задатак за вежбу

Одредите угао између правих $2x - y + 1 = 0$ и $x - 3y + 6 = 0$ .

Прикажи решење

$k_1 = 2$ и $k_2 = \frac{1}{3}$ , па је $\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{\frac{1}{3} - 2}{1 + \frac{2}{3}}\right| = 1$ и $\varphi = 45^\circ$ .