Ваљак – примери 2

Површина и запремина ваљка. Ваљак уписан у призму, ваљак описан око призме. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4) Израчунај разлику запремина описаног и уписаног ваљка у праву тространу призму чије су основне ивице 25cm, 24cm и 7cm, ако је висина призме једнака средњој по величини висини троугла основе.

Пр.5) Израчунај разлику површина и однос запремина ваљка описаног и уписаног у правилну тространу призму основене ивице $a$ , чија је висина једнака висини основе.

Пр.4)

338

$\begin{aligned}&{P_\vartriangle } = \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} \\ &s = \frac{{a + b + c}}{2} \\ &s = \frac{{25 + 24 + 7}}{2} = 28cm \\ &{P_\vartriangle } = \sqrt {28\left( {28 - 25} \right)\left( {28 - 24} \right)\left( {28 - 7} \right)} \\ &{P_\vartriangle } = \sqrt {28 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 21} = 84c{m^2} \\ & \\ &{P_\vartriangle } = r \cdot s \\ &84 = r \cdot 28 \\ &r = 3cm \\ & \\ &{P_\vartriangle } = \frac{{abc}}{{4R}} \\ &84 = \frac{{25 \cdot 24 \cdot 7}}{{4R}} \\ &R = \frac{{25}}{4}cm \\ & \\ &a > b > c \Rightarrow {h_a} < {h_b} < {h_c} \Rightarrow H = {h_b} \\ &{P_\vartriangle } = \frac{{b{h_b}}}{2} \\ &84 = \frac{{24{h_b}}}{2} \Rightarrow {h_b} = 7cm \Rightarrow H = 7cm \\ &{V_o} - {V_u} = {R^2}\pi H - {r^2}\pi H = H\pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) \\ &{V_o} - {V_u} = 7\pi \frac{{579}}{4} = \frac{{4123}}{4}\pi = 1030\frac{3}{4}cm\end{aligned}$

Пр.5)

339

описан ваљак

уписан ваљак

\begin{aligned}&R = \frac{2}{3}{h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \\ &H = {h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ & \\ &P = 2B + M \\ &{P_o} = 2{R^2}\pi + 2R\pi \cdot H \\ &{P_o} = 2{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\pi + 2\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)\pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &{P_o} = \frac{{5{a^2}\pi }}{3} \\ & \\ &V = BH \\ &V = \frac{{{a^2}\pi }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &{V_o} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{6}\end{aligned}

\begin{aligned}&r = \frac{1}{3}{h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \\ &H = {h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ & \\ &{P_u} = 2{r^2}\pi + 2r\pi \cdot H \\ &{P_u} = 2{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2}\pi + 2\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)\pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &{P_u} = \frac{{2{a^2}\pi }}{3} \\ & \\ &V = BH \\ &V = \frac{{{a^2}\pi }}{{12}} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &{V_u} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{{24}}\end{aligned}

$\begin{aligned}&{P_o} - {P_u} = \frac{{5{a^2}\pi }}{3} - \frac{{2{a^2}\pi }}{3} = {a^2}\pi \\ &\frac{{{V_o}}}{{{V_u}}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{6}:\frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{{24}} = 4\end{aligned}$

Ваљак уписан у праву призму има полупречник једнак полупречнику $r$ кружнице уписане у основу, а ваљак описан око призме полупречник $R$ описане кружнице; висина је у оба случаја висина призме. За троугао страница $a$ , $b$ , $c$ прво нађите површину по Хероновом обрасцу $P_\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ , затим $r = \frac{P_\Delta}{s}$ и $R = \frac{abc}{4P_\Delta}$ , где је $s$ полуобим.

За правоугли троугао је $R = \frac{c}{2}$ , а за једнакостранични $R = \frac{a\sqrt3}{3} = 2r$ . Зато је код правилне тростране призме однос запремина описаног и уписаног ваљка увек 4, а разлика запремина $V_o - V_u = \pi H\left(R^2 - r^2\right)$ . Пазите: $s$ овде није бочна ивица, него полуобим.

Полупречник уписаног ваљка r: 4 cm
Полупречник описаног ваљка R: 8,13 cm
Однос запремина (R : r)²: 4,13

Однос запремина описаног и уписаног ваљка исте висине је

\left(\frac{R}{r}\right)^2

. За троугао 13, 14, 15 он је око 4,13, а најмањи је, тачно 4, код једнакостраничног троугла, где је

R = 2r

.

Произвођачи амбалаже рачунају највећи ваљак који стане у кутију и најмању тулу у коју стаје производ, на пример свећа, конзерва или ролна.

Свећа у кутији

Кутија за поклон је права призма висине 8 cm, чија је основа троугао страница 13 cm, 14 cm и 15 cm. Колико воска треба за највећу ваљкасту свећу која стане у кутију? Колики пречник мора да има најмања ваљкаста тула у коју стаје цела кутија?

Решење

Полуобим основе је $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ cm, а површина по Хероновом обрасцу $P_\Delta = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ cm².
Свећа је ваљак уписан у призму: $r = \frac{P_\Delta}{s} = \frac{84}{21} = 4$ cm, а висина јој је 8 cm.
Восак: $V = r^2\pi H = 16\pi \cdot 8 = 128\pi \approx 402{,}1$ cm³.
Тула је ваљак описан око призме: $R = \frac{abc}{4P_\Delta} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8{,}125$ cm, па је пречник $16{,}25$ cm.

Одговор: За свећу треба око 402 cm³ воска, а тула мора да има пречник најмање 16,25 cm.

Задатак за вежбу

Правилна тространа призма има основну ивицу 6 cm и висину 10 cm. Израчунајте разлику и однос запремина ваљка описаног око ње и ваљка уписаног у њу.

Прикажи решење

$R = \frac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ cm и $r = \frac{6\sqrt3}{6} = \sqrt3$ cm. $V_o - V_u = \pi \cdot 10 \cdot (12 - 3) = 90\pi \approx 282{,}7$ cm³, а $\frac{V_o}{V_u} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{12}{3} = 4$ .