Мешовит производ вектора – примери 1

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Приказати да тачке $A,B,C$ и $D$ припадају истој равни. $A\left( {2, - 1, - 2} \right),B\left( {1,2,1} \right)C\left( {2,3,0} \right)D\left( {5,0, - 6} \right)$

Пр.2)   Одредити $x$ тако да вектори $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ и $\overrightarrow c$ буду компланарни. $\overrightarrow a \left( {1n\left( {x - 2} \right), - 2,6} \right),\overrightarrow b \left( {x, - 2,5} \right),\overrightarrow c \left( {0, - 1,3} \right)$

Пр.3) Израчунати запремину паралелопипеда конструисаног над векторима: $\overrightarrow a (4,5, - 3),\overrightarrow b (1, - 2,1),\overrightarrow c (1,1,1)$.

Пр.1) 

$$\begin{aligned}&\overrightarrow {AB} = B - A = \left( { - 1,3,3} \right) \\ &\overrightarrow {AC} = C - A = \left( {0,4,2} \right) \\ &\overrightarrow {AD} = D - A = \left( {3,1, - 4} \right) \\ & \\ &\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 1}&3&3 \\ 0&4&2 \\ 3&1&{ - 4} \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 1} \\ 0 \\ 3 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array} = 16 + 18 + 0 - 36 + 2 - 0 = 0\end{aligned}$$

Tачке $A,B,C$ и $D$ су компланарне.

Пр.2)

$$\begin{aligned}&\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {1n\left( {x - 2} \right)}&{ - 2}&6 \\ x&{ - 2}&5 \\ 0&{ - 1}&3 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {1n\left( {x - 2} \right)} \\ x \\ 0 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 2} \\ { - 2} \\ { - 1} \end{array} = 0 \\ & \\ &- 61n\left( {x - 2} \right) + 0 - 6x - 0 + 51n\left( {x - 2} \right) + 6x = 0 \\ &- 1n\left( {x - 2} \right) = 0 \\ &x - 2 = 1 \\ &x = 3\end{aligned}$$

Пр.3)

$$\begin{aligned}&V = \left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right]} \right| \\ &\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 4&5&{ - 3} \\ 1&{ - 2}&1 \\ 1&1&1 \end{array}} \right| = 1 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 5&{ - 3} \\ { - 2}&1 \end{array}} \right| - 1 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 4&{ - 3} \\ 1&1 \end{array}} \right| + 1 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 4&5 \\ 1&{ - 2} \end{array}} \right| = \\ &= 5 - 6 - \left( {4 + 3} \right) + \left( { - 8 - 5} \right) = - 1 - 7 - 13 = - 21 \\ &V = 21\end{aligned}$$