Векторски производ вектора – примери 1

Векторски производ јединичних вектора Декартовог координатног система.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) а) Одредити векторске производе вектора $\overrightarrow {i,} \overrightarrow j$ и $\overrightarrow k$

б) Одредтити $\left( {\left( {\overrightarrow i \times \overrightarrow j } \right) \times \overrightarrow i } \right) \times \overrightarrow i$

в) Одредити $\overrightarrow i \times \left( {\overrightarrow j + \overrightarrow k } \right) - \overrightarrow j \times \left( {\overrightarrow i + \overrightarrow k } \right) \times \overrightarrow k \times \left( {\overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k } \right)$

Пр.1) a)

$\begin{aligned}&\overrightarrow i \times \overrightarrow j = \overrightarrow k \\ &\overrightarrow j \times \overrightarrow i = - \overrightarrow k \\ &\overrightarrow j \times \overrightarrow k = \overrightarrow i \\ &\overrightarrow k \times \overrightarrow j = - \overrightarrow i \\ &\overrightarrow k \times \overrightarrow i = \overrightarrow j \\ &\overrightarrow i \times \overrightarrow k = - \overrightarrow j \\ &\left| {\overrightarrow i \times \overrightarrow i } \right| = \left| {\overrightarrow i } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|\sin \measuredangle \left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow i } \right) = 0 \\ &\left| {\overrightarrow j \times \overrightarrow j } \right| = 0 \\ &\left| {\overrightarrow k \times \overrightarrow k } \right| = 0\end{aligned}$

b)

$\left( {\left( {\overrightarrow i \times \overrightarrow j } \right) \times \overrightarrow i } \right) \times \overrightarrow i = \left( {\overrightarrow k \times \overrightarrow i } \right) \times \overrightarrow i = \overrightarrow j \times \overrightarrow i = - \overrightarrow k = \left( {0,0, - 1} \right)$
c)

$\begin{aligned}&\overrightarrow i \times \left( {\overrightarrow j + \overrightarrow k } \right) - \overrightarrow j \times \left( {\overrightarrow i + \overrightarrow k } \right) + \overrightarrow k \times \left( {\overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k } \right) = \\ &= \overrightarrow i \times \overrightarrow j + \overrightarrow i \times \overrightarrow k - \overrightarrow j \times \overrightarrow i - \overrightarrow j \times \overrightarrow k + \overrightarrow k \times \overrightarrow i + \overrightarrow k \times \overrightarrow j + \overrightarrow k \times \overrightarrow k = \\ &= 2\overrightarrow i \times \overrightarrow j - 2\overrightarrow j \times \overrightarrow k = 2\overrightarrow k + 2\overrightarrow i = 2\left( {\overrightarrow k - \overrightarrow i } \right) = 2\left( {\left( {0,0,1} \right) - \left( {1,0,0} \right)} \right) = \\ &= 2\left( { - 1,0,1} \right) = \left( { - 2,0,2} \right)\end{aligned}$

За јединичне векторе координатних оса важи $\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k}$ , $\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k} = \overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j}$ . Лако се памти кружно, $\overrightarrow{i} \to \overrightarrow{j} \to \overrightarrow{k} \to \overrightarrow{i}$ : производ два узастопна вектора је онај трећи. Ако их помножите обрнутим редом, добијате супротан вектор, на пример $\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{i} = -\overrightarrow{k}$ . Производ сваког вектора са самим собом је нула-вектор, јер је угао између њих $0^\circ$ , а $\sin 0^\circ = 0$ .

Са овим правилима и дистрибутивношћу изразе множите без координата, члан по члан: $(2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}) \times (\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}) = 6\,\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{i} + 3\,\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k} = 3\overrightarrow{i} - 6\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$ . Пазите на редослед чинилаца и на заграде, јер векторски производ није ни комутативан ни асоцијативан: $(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}) \times \overrightarrow{j} = -\overrightarrow{i}$ , а $\overrightarrow{i} \times (\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j}) = \overrightarrow{0}$ .

Прва координата вектора f3

Друга координата вектора f4

Прва координата f × k: 4
Друга координата f × k: −3
Угао између f и f × k: 90°

Вектор

\overrightarrow{f} \times \overrightarrow{k}

увек лежи у поду и стоји под правим углом на

\overrightarrow{f}

: то је правац удесно од камере. За

\overrightarrow{f} = \overrightarrow{i}

добијате

\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k} = -\overrightarrow{j}

, а за

\overrightarrow{f} = \overrightarrow{j}

добијате

\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k} = \overrightarrow{i}

.

Програми за 3D графику и видео игре из правца погледа камере и вертикале векторским производом добијају правац „удесно“. У физици је сила на наелектрисање које се креће кроз магнетно поље $q\,\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}$ , па се њен смер одређује управо овим правилима.

Камера у видео игри

У 3D игри оса $z$ иде навише, а под је раван $xy$ . Камера гледа хоризонтално, у правцу вектора $\overrightarrow{f} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ , а вертикала је $\overrightarrow{k}$ . Правац „удесно“ од камере програм рачуна као $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{f} \times \overrightarrow{k}$ . Израчунајте $\overrightarrow{d}$ само помоћу производа вектора $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ и $\overrightarrow{k}$ и проверите да је нормалан на $\overrightarrow{f}$ .

Решење

Дистрибутивност: $\overrightarrow{d} = (3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}) \times \overrightarrow{k} = 3\,\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k} + 4\,\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k}$ .
Из $\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j}$ следи $\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k} = -\overrightarrow{j}$ , а по правилу је $\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k} = \overrightarrow{i}$ .
Зато је $\overrightarrow{d} = -3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{i} = (4, -3, 0)$ .
Провера: $\overrightarrow{f} \cdot \overrightarrow{d} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) + 0 \cdot 0 = 0$ , па је $\overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{f}$ . Још је $|\overrightarrow{d}| = 5 = |\overrightarrow{f}| \cdot |\overrightarrow{k}| \cdot \sin 90^\circ$ .

Одговор: Правац удесно од камере је $\overrightarrow{d} = 4\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} = (4, -3, 0)$ , а јединични вектор тог правца је $(0{,}8;\ -0{,}6;\ 0)$ .

Задатак за вежбу

Помоћу правила за $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ и $\overrightarrow{k}$ израчунајте $(\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}) \times (\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k})$ .

Прикажи решење

$\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j} - \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k} + 2\,\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j} - 2\,\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k} = \overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{0} - 2\overrightarrow{i}$ , дакле $(-2, 1, 1)$ .