Мешовит производ вектора – примери 3

Израчунавање висине и запремине паралелопипеда помоћу мешовитог производа вектора. Десни триедар.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6) Тачке $A\left( { - 1,1,3} \right),B\left( { - 2,2,4} \right)C\left( {3,4,5} \right)D\left( {1, - 1,7} \right)$ су темена паралелопипеда, при чему је теме $C$ теме горње, а $A,B$ и $D$ теме доње основе тог паралелопипеда. Израчунати висину паралелопипеда која одговара темену $C$ .

Пр.7) Вектори $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ и $\overrightarrow c$ образују десни триедар. Израчунати мешовити производ ових вектора ако је $\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\left| {\overrightarrow c } \right| = 3$ , вектор $\overrightarrow c$ је ортогоналан на $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ и угао између $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ је ${30^ \circ }$ .

Пр.6)

400 png

$\begin{aligned}&V = B \cdot H \\ &V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \\ &B = \left| {\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} } \right| \\ &\overrightarrow {AB} = B - A = \left( { - 1,1,1} \right) \\ &\overrightarrow {AD} = D - A = \left( {2, - 2,4} \right) \\ &\overrightarrow {AC} = C - A = \left( {4,3,2} \right) \\ &V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \left| {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 1}&1&1 \\ 2&{ - 2}&4 \\ 4&3&2 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 1} \\ 2 \\ 4 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ { - 2} \\ 3 \end{array}} \right| = \\ &= \left| {4 + 16 + 6 + 8 + 12 - 4} \right| = 42 \\ &B = \left| {\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} } \right| \\ &\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k } \\ { - 1}&1&1 \\ 2&{ - 2}&4 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\overrightarrow i } \\ { - 1} \\ 2 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\overrightarrow j } \\ 1 \\ { - 2} \end{array} = \\ &= 4\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 2\overrightarrow k - 2\overrightarrow k + 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j = 6\overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 0\overrightarrow k = \left( {6,6,0} \right) \\ &B = \left| {\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {{6^2} + {6^2} + {0^2}} = 6\sqrt 2 \\ &V = BH \Rightarrow H = \frac{{42}}{{6\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\end{aligned}$

Пр.7)

401 png

$\begin{aligned}&\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c \\ &\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\sin \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 6 \cdot 3 \cdot \sin {30^ \circ } = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9\end{aligned}$

402 png

$\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right|\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = 9 \cdot 3 = 27$

Кад су дата четири темена паралелепипеда, три из доње основе ( $A$ , $B$ , $D$ ) и једно из горње ( $C$ ), висину рачунате из $V = B \cdot H$ : запремина је $V = |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC}]|$ , основа $B = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}|$ , па је $H = \frac{V}{B}$ . Сви вектори крећу из истог темена $A$ .

Мешовити производ можете израчунати и без координата: $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| \cdot |\overrightarrow{c}| \cos\psi$ , где је $\psi$ угао између $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ . Ако је $\overrightarrow{c}$ нормалан на $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ и тројка је десна, онда је $\psi = 0^\circ$ и $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\varphi \cdot |\overrightarrow{c}|$ ; за леву тројку је $\psi = 180^\circ$ , па је производ негативан. Не мешајте $\varphi$ , угао између $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , са углом $\psi$ .

Угао између a и b30°

Трећа координата вектора c0,8 dm

Површина основе |a × b|: 5 dm²
Мешовити производ [a, b, c]: 4 dm³
Запремина плоче: 4 l

Јединица је 1 dm, па је запремина у литрима. Мешовити производ је

|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\varphi \cdot c_3

: кад је

\overrightarrow{c}

усмерен навише, тројка је десна и производ је позитиван, а кад је усмерен надоле, производ је негативан, док запремина остаје иста. На почетку је плоча из примера, 4 l.

Запремина бетонских плоча, греда и стубова облика косих призми је површина основе пута висина. Кад су ивице задате векторима, као у програмима за пројектовање, то је управо апсолутна вредност мешовитог производа.

Бетонске плоче за стазу

За баштенску стазу мајстор лије плоче облика призме чија је основа паралелограм са страницама 40 cm и 25 cm и углом од $30^\circ$ између њих, а дебљина је 8 cm. Ивице из једног темена су вектори $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ у основи и $\overrightarrow{c}$ нормалан на основу, тако да је $(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})$ десни триедар. Израчунајте $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}]$ и колико литара бетона треба за 50 плоча.

Решење

$[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| \cdot |\overrightarrow{c}| \cos\psi$ .
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 40 \cdot 25 \cdot \sin 30^\circ = 500$ cm².
Вектор $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ нормалан је на основу, као и $\overrightarrow{c}$ , а тројка је десна, па имају исти смер: $\psi = 0^\circ$ и $\cos\psi = 1$ .
$[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = 500 \cdot 8 \cdot 1 = 4000$ cm³, тј. 4 l, колико је запремина једне плоче.
За 50 плоча треба $50 \cdot 4 = 200$ l бетона.

Одговор: $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = 4000$ cm³, па за 50 плоча треба 200 l бетона.

Задатак за вежбу

Тачке $A(1, 1, 0)$ , $B(3, 1, 1)$ и $D(1, 3, 2)$ су темена доње основе паралелепипеда, а $C(2, 2, 6)$ је теме горње основе. Израчунајте висину паралелепипеда.

Прикажи решење

$\overrightarrow{AB} = (2, 0, 1)$ , $\overrightarrow{AD} = (0, 2, 2)$ , $\overrightarrow{AC} = (1, 1, 6)$ ; $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = (-2, -4, 4)$ , па је $B = 6$ . $V = |-2 - 4 + 24| = 18$ , па је $H = \frac{18}{6} = 3$ .