Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Аналитчка геометрија, вектори – примери 5

Копланарност вектора, разлагање вектора. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Доказати да су вектори a→\overrightarrow a, b→\overrightarrow b и c→\overrightarrow c компланарни, а затим вектор c→\overrightarrow c разложи по правцима a→\overrightarrow a и b→\overrightarrow b ако је: a→=(3,−2,)\overrightarrow a = \left( {3, - 2,} \right), b→=(−2,1)\overrightarrow b = \left( { - 2,1} \right), c→=(7,−4)\overrightarrow c = \left( {7, - 4} \right).

Пр.1)

αa→+βb→+γc→=0→α(3;−2)+β(−2;1)+γ(7;−4)=(0;0)(3α;−2α)+(−2β;β)+(7γ;−4γ)=(0;0)(3α−2β+7γ;−2α+β−4γ)=(0;0)3α−2β+7γ=0−2α+β−4γ=0‾−2α+β−4γ=0−α−γ=0‾α=−γ2γ+β−4γ=0β=2γ(α;β;γ)=(−γ;2γ;γ)\begin{aligned}&\alpha \overrightarrow a + \beta \overrightarrow b + \gamma \overrightarrow c = \overrightarrow 0 \\ &\alpha \left( {3; - 2} \right) + \beta \left( { - 2;1} \right) + \gamma \left( {7; - 4} \right) = \left( {0;0} \right) \\ &\left( {3\alpha ; - 2\alpha } \right) + \left( { - 2\beta ;\beta } \right) + \left( {7\gamma ; - 4\gamma } \right) = \left( {0;0} \right) \\ &\left( {3\alpha - 2\beta + 7\gamma ; - 2\alpha + \beta - 4\gamma } \right) = \left( {0;0} \right) \\ & \\ &3\alpha - 2\beta + 7\gamma = 0 \\ &\underline { - 2\alpha + \beta - 4\gamma = 0} \\ &- 2\alpha + \beta - 4\gamma = 0 \\ &\underline { - \alpha - \gamma = 0} \\ &\alpha = - \gamma \\ &2\gamma + \beta - 4\gamma = 0 \\ &\beta = 2\gamma \\ &\left( {\alpha ;\beta ;\gamma } \right) = \left( { - \gamma ;2\gamma ;\gamma } \right)\end{aligned}

a→,b→,c→\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c - линеарно зависне.

c→=αa→+βb→(7;−4)=α(3;−2)+β(−2;1)==(3α;−2α)+(−2β;β)=(3α−2β;−2α+β)3α−2β=7−2α+β=−4‾−2α+β=−4−α=−1‾−2α+β=−4α=1β=−2c→=a→−2b→\begin{aligned}&\overrightarrow c = \alpha \overrightarrow a + \beta \overrightarrow b \\ &\left( {7; - 4} \right) = \alpha \left( {3; - 2} \right) + \beta \left( { - 2;1} \right) = \\ &= \left( {3\alpha ; - 2\alpha } \right) + \left( { - 2\beta ;\beta } \right) = \left( {3\alpha - 2\beta ; - 2\alpha + \beta } \right) \\ & \\ &3\alpha - 2\beta = 7 \\ &\underline { - 2\alpha + \beta = - 4} \\ &- 2\alpha + \beta = - 4 \\ &\underline { - \alpha = - 1} \\ &- 2\alpha + \beta = - 4 \\ &\alpha = 1 \\ &\beta = - 2 \\ & \\ &\overrightarrow c = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b\end{aligned}

Три вектора у равни су увек линеарно зависна, па се сваки вектор c→\overrightarrow{c} може разложити по правцима два неколинеарна вектора a→\overrightarrow{a} и b→\overrightarrow{b}: c→=αa→+βb→\overrightarrow{c} = \alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b}, и то на један једини начин. Зависност се доказује као и у простору: из αa→+βb→+γc→=0→\alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b} + \gamma\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} добијате две једначине са три непознате, па решење различито од нуле увек постоји.

Коефицијенте разлагања налазите тако што једнакост распишете по координатама и решите систем од две једначине. На крају проверите да αa→+βb→\alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b} даје баш координате вектора c→\overrightarrow{c}. Разлагање није могуће ако су a→\overrightarrow{a} и b→\overrightarrow{b} колинеарни.

−5−4−3−2−11234512345670xyαaβbFF
Сила у левој сајли
180 N
Сила у десној сајли
240 N
Сила F
300 N
Вектор F→\overrightarrow{F} је дијагонала паралелограма чије су странице на правцима сајли. Почетни положај је сила од 300 N из примера, а један подеок је 50 N. Померите FF улево или удесно и пратите како се сила преноси на сајле.

Грађевински инжењери разлажу тежину терета по правцима сајли или греда да би знали колику силу трпи свака од њих; тако се бирају сајле уличне расвете и носачи кровова.

Лампа на две сајле

Улична лампа тежине 300 N виси изнад раскрснице у Новом Саду на две сајле. У равни сајли, са осом xx водоравно и осом yy навише, лева сајла има правац вектора a→=(−4,3)\overrightarrow{a} = (-4, 3), а десна правац b→=(3,4)\overrightarrow{b} = (3, 4). Сајле заједно држе лампу силом F→=(0,300)\overrightarrow{F} = (0, 300), супротном тежини. Разложите F→\overrightarrow{F} по правцима сајли и одредите силу у свакој сајли.

Решење

  1. Тражимо α\alpha и β\beta за које је F→=αa→+βb→\overrightarrow{F} = \alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b}: −4α+3β=0-4\alpha + 3\beta = 0 и 3α+4β=3003\alpha + 4\beta = 300.
  2. Из прве је α=34β\alpha = \frac{3}{4}\beta. Уврштавањем у другу: 94β+4β=300\frac{9}{4}\beta + 4\beta = 300, па је β=48\beta = 48 и α=36\alpha = 36.
  3. Сила у левој сајли је 36a→=(−144,108)36\overrightarrow{a} = (-144, 108), интензитета 36⋅∣a→∣=36⋅5=18036 \cdot |\overrightarrow{a}| = 36 \cdot 5 = 180.
  4. Сила у десној сајли је 48b→=(144,192)48\overrightarrow{b} = (144, 192), интензитета 48⋅5=24048 \cdot 5 = 240. Провера: (−144,108)+(144,192)=(0,300)(-144, 108) + (144, 192) = (0, 300).

Одговор: Лева сајла трпи силу од 180 N, а десна силу од 240 N.

Задатак за вежбу

Разложите вектор c→=(1,8)\overrightarrow{c} = (1, 8) по правцима вектора a→=(2,1)\overrightarrow{a} = (2, 1) и b→=(−1,2)\overrightarrow{b} = (-1, 2).

Прикажи решење

Из 2α−β=12\alpha - \beta = 1 и α+2β=8\alpha + 2\beta = 8 следи α=2\alpha = 2, β=3\beta = 3, па је c→=2a→+3b→\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}.