Крамерово правило – примери 1

Решавање једначина задатих у облику детерминанте.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Решити дати ситем једначина.

$x + y + 2 = 6$

$2x - y + z = 3$

$x - 2y + 2x = 3$

Пр.3) Решити дати систем једначина.

$x + y + z = 3$

$2x - 3y + 2z = 1$

$3x - 2y + 3z = 7$

Пр.1)

$\begin{aligned}&{D_s} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&1 \\ 2&{ - 1}&1 \\ 1&{ - 2}&2 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ { - 1} \\ { - 2} \end{array} = - 2 + 1 - 4 + 1 + 2 - 4 = - 6 \ne 0 \\ & \\ &{D_x} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 6&1&1 \\ 3&{ - 1}&1 \\ 3&{ - 2}&2 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 6 \\ 3 \\ 3 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ { - 1} \\ { - 2} \end{array} = - 12 + 3 - 6 + 3 + 12 - 6 = - 6\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{} \end{array} \\ & \\ &{D_y} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&6&1 \\ 2&3&1 \\ 1&3&2 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 6 \\ 3 \\ 3 \end{array} = 6 + 6 + 6 - 3 - 3 - 24 = - 12\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{}&{}&{} \end{array} \\ & \\ &{D_z} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&6 \\ 2&{ - 1}&3 \\ 1&{ - 2}&3 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ { - 1} \\ { - 2} \end{array} = - 3 + 3 - 24 + 6 + 6 - 6 = - 18\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{} \end{array} \\ & \\ &x = \frac{{{D_x}}}{{{D_s}}} = \frac{{ - 6}}{{ - 6}} = 1 \\ & \\ &y = \frac{{{D_y}}}{{{D_s}}} = \frac{{ - 12}}{{ - 6}} = 2 \\ & \\ &z = \frac{{{D_z}}}{{{D_s}}} = \frac{{ - 18}}{{ - 6}} = 3 \\ & \\ &\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,2,3} \right)\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&{D_s} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&1 \\ 2&{ - 3}&2 \\ 3&{ - 2}&3 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ { - 3} \\ { - 2} \end{array} = - 9 + 6 - 4 + 9 + 4 - 6 = 0\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{}&{} \end{array} \\ & \\ &{D_x} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 3&1&1 \\ 1&{ - 3}&2 \\ 7&{ - 2}&3 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 3 \\ 1 \\ 7 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ { - 3} \\ { - 2} \end{array} = - 27 + 14 - 2 + 21 + 12 - 3 = 15 \ne 0\end{aligned}$

Систем немогућ.

Систем од три једначине са три непознате решава се Крамеровим правилом преко четири детерминанте трећег реда. Детерминанта система $D$ састоји се од коефицијената уз $x$ , $y$ и $z$ , а $D_x$ , $D_y$ и $D_z$ настају кад се одговарајућа колона замени слободним члановима. Све четири израчунајте Сарусовим правилом. Ако је $D \neq 0$ , решење је јединствено: $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$ , $z = \frac{D_z}{D}$ . Ако је $D = 0$ , а бар једна од осталих није нула, систем је немогућ и нема решења.

Пре рачуна поређајте непознате истим редом у свим једначинама и упишите 0 где нека недостаје. Решење проверите у све три једначине.

x+y+z=x+y+z=x+y+z=

D =

112211121

= 4

D_x =

460126301151021

= 920

D_y =

146022630115101

= 440

D_z =

114602163012510

= 240

x = D_x / D = 920 / 4 = 230

y = D_y / D = 440 / 4 = 110

z = D_z / D = 240 / 4 = 60

Решење: x = 230, y = 110, z = 60.

Број решења: 1
Бурек: 230 дин.
Јогурт: 110 дин.
Кифла: 60 дин.

Свака непозната је количник

\frac{D_x}{D}

,

\frac{D_y}{D}

или

\frac{D_z}{D}

, а овде је

D = 4

. Промените рачуне у последњој колони и пратите нове цене. Ако трећу једначину промените у

3x + 2y + 3z = 1000

,

D

постаје 0, а

D_x

није, па систем нема решења.

Кад три различите куповине или мешавине садрже исте три ставке, из њих се Крамеровим правилом одређују појединачне цене или количине; тако се рачунају и струје у колима са три петље.

Доручак из пекаре

Троје пријатеља купује доручак у пекари у Краљеву. Ана је за један бурек, један јогурт и две кифле платила 460 динара, Марко за два бурека, један јогурт и једну кифлу 630 динара, а Јована за један бурек, два јогурта и једну кифлу 510 динара. Колико кошта бурек, колико јогурт, а колико кифла?

Решење

Нека су $x$ , $y$ , $z$ цене бурека, јогурта и кифле: $x + y + 2z = 460$ , $2x + y + z = 630$ , $x + 2y + z = 510$ .
Сарусовим правилом: $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 1 + 8 - 2 - 2 - 2 = 4 \neq 0$ .
$D_x = \begin{vmatrix} 460 & 1 & 2 \\ 630 & 1 & 1 \\ 510 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3490 - 2570 = 920$ , а на исти начин $D_y = 440$ и $D_z = 240$ .
$x = \frac{920}{4} = 230$ , $y = \frac{440}{4} = 110$ , $z = \frac{240}{4} = 60$ .
Провера у Аниној куповини: $230 + 110 + 2 \cdot 60 = 460$ .

Одговор: Бурек кошта 230 динара, јогурт 110 динара, а кифла 60 динара.

Задатак за вежбу

Решите Крамеровим правилом систем $x + 2y - z = 1$ , $2x - y + z = 6$ , $x + y + 2z = 9$ .

Прикажи решење

$D = -12$ , $D_x = -24$ , $D_y = -12$ , $D_z = -36$ , па је $(x, y, z) = (2, 1, 3)$ .