Аналитичка геометрија у равни – једначина праве 2

Једначина праве кроз једну тачку, једначина праве кроз две тачке, међусобни положај две праве, услов паралелности и услов нормалности. Дефиниције.

Ако тачка $M(x_1, y_1)$ лежи на правој $p: y = kx + n$ , онда је $y_1 = kx_1 + n$ , па је $n = y_1 - kx_1$ . Кад то уврстите у $y = kx + n$ , добијате једначину праве кроз једну тачку $y - y_1 = k(x - x_1)$ . Довољни су једна тачка и коефицијент правца $k = \operatorname{tg}\alpha$ .

За праву кроз тачке $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$ коефицијент правца је $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , однос катета правоуглог троугла уз праву. Уврштавањем добијате $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ . Ако је $x_1 = x_2$ , права је паралелна оси $y$ и гласи $x = x_1$ . Честа грешка је да се тачке у бројиоцу и имениоцу узму различитим редом, па $k$ добије погрешан знак.

x₂ − x₁: 4
y₂ − y₁: 3
k = tg α: 0,75
Угао α: 36,9°

Катете троугла уз праву су

x_2 - x_1

и

y_2 - y_1

, а њихов однос је

k = \operatorname{tg}\alpha

. Превуците

M_2

лево од

M_1

: обе разлике промене знак, а

k

остаје исти. Кад је

x_1 = x_2

, права је паралелна оси

y

и

k

не постоји.

Апликације за бициклисте и планинаре рачунају нагиб успона из висина две тачке пута и растојања између њих, а пројектанти задају праву трасу пута или цеви двема тачкама на плану.

Нагиб пута из два мерења

Пут ка планинском селу пење се равномерно. Нека $x$ мери хоризонтално растојање од почетка пута, а $y$ надморску висину, обе у метрима. Геометар је измерио да је пут на $x = 1200$ на висини од 236 m, а на $x = 3200$ на висини од 396 m. Напишите једначину праве дуж које се пут пење, изразите нагиб пута у процентима и израчунајте надморску висину села, које је на $x = 4500$ .

Решење

Измерене тачке су $M_1(1200, 236)$ и $M_2(3200, 396)$ , па је $k = \frac{396 - 236}{3200 - 1200} = \frac{160}{2000} = 0{,}08$ .
Нагиб је $0{,}08 = 8\%$ : на сваких 100 m хоризонтално пут се попне 8 m. Угао успона је $\alpha = \operatorname{arctg} 0{,}08 \approx 4{,}57^\circ$ .
Права кроз $M_1$ : $y - 236 = 0{,}08(x - 1200)$ , односно $y = 0{,}08x + 140$ .
За $x = 4500$ : $y = 0{,}08 \cdot 4500 + 140 = 360 + 140 = 500$ .

Одговор: Пут прати праву $y = 0{,}08x + 140$ , нагиб му је 8% (угао од око $4{,}6^\circ$ ), а село је на 500 m надморске висине.

Задатак за вежбу

Напишите једначину праве кроз тачке $A(-2, 3)$ и $B(4, -1)$ и проверите да ли тачка $C(1, 1)$ лежи на њој.

Прикажи решење

$k = \frac{-1 - 3}{4 - (-2)} = -\frac{2}{3}$ , па је $y - 3 = -\frac{2}{3}(x + 2)$ , односно $y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$ . За $x = 1$ је $y = -\frac{2}{3} + \frac{5}{3} = 1$ , па $C$ лежи на правој.