Аналитичка геометрија – вектори 1

Дефиниција и особине вектора. Представљање вектора у дводимензионом и тродимензионом координатном систему.

Вектор је одређен интензитетом (дужином), правцем и смером; два вектора су једнака ако им се сва три поклапају, без обзира где почињу. Зато се сваки вектор може померити тако да почиње у координатном почетку, па га одређују координате његовог краја: у равни $\overrightarrow{a} = (a_x, a_y)$ , а у простору $\overrightarrow{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\overrightarrow{i} + a_y\overrightarrow{j} + a_z\overrightarrow{k}$ , где су $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ јединични вектори оса. Вектор положаја тачке $M(x, y, z)$ је $\overrightarrow{OM} = (x, y, z)$ .

Интензитет следи из Питагорине теореме: $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ . Јединични вектори имају интензитет 1, па је, на пример, $|\overrightarrow{i}| = 1$ . Честа грешка је знак код квадрата: $(-3)^2 = 9$ , а не $-9$ .

Ка истоку20 m

Ка северу30 m

Висина60 m

Удаљеност од пилота |a|: 70 m
Удаљеност по земљи: 36,1 m

Испрекидане линије показују координате краја вектора. Почетни положај је дрон из примера, на 70 m од пилота. Подигните га или спустите: мења се само трећа координата, а удаљеност по земљи остаје иста.

Дронови, авиони и GPS уређаји положај и брзину памте као векторе са три координате, а програми за 3D игре свако померање лика рачунају по координатама вектора.

Дрон изнад ливаде

Пилот дрона стоји у координатном почетку на ливади код Ваљева. Оса $x$ иде ка истоку, оса $y$ ка северу, а оса $z$ навише; јединица је метар. Дрон је 20 m источно и 30 m северно од пилота, на висини од 60 m. Напишите вектор његовог положаја преко $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ и израчунајте колико је дрон удаљен од пилота и колико би био удаљен кад би се спустио право на земљу.

Решење

Вектор положаја је $\overrightarrow{a} = (20, 30, 60) = 20\overrightarrow{i} + 30\overrightarrow{j} + 60\overrightarrow{k}$ .
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{20^2 + 30^2 + 60^2} = \sqrt{400 + 900 + 3600} = \sqrt{4900} = 70$ .
Кад се дрон спусти на земљу, трећа координата постаје 0: $(20, 30, 0)$ , па је удаљеност $\sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} \approx 36{,}1$ .

Одговор: Положај дрона је $20\overrightarrow{i} + 30\overrightarrow{j} + 60\overrightarrow{k}$ ; дрон је 70 m од пилота, а на земљи би био око 36,1 m од њега.

Задатак за вежбу

Тачка $A$ има координате $(2, -3, 6)$ . Запишите вектор положаја $\overrightarrow{OA}$ преко $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ и израчунајте његов интензитет.

Прикажи решење

$\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + 6\overrightarrow{k}$ , а $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ .