Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Скаларни производ вектора

Дефиниција, особине скаларног производа.

Скаларни производ вектора a→\overrightarrow{a} и b→\overrightarrow{b} је број a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡φ\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos\varphi, где је φ\varphi угао између њих. Позитиван је кад је угао оштар, негативан кад је туп, а једнак нули кад су вектори нормални. Отуда најважнији услов: ненула вектори су нормални ако и само ако је a→⋅b→=0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0.

Скаларни производ је комутативан, дистрибутиван према сабирању и важи (ka→)⋅b→=k(a→⋅b→)(k\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}), а a→⋅a→=∣a→∣2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2. У координатама је a→⋅b→=a1b1+a2b2+a3b3\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3, па се угао рачуна из cos⁡φ=a→⋅b→∣a→∣⋅∣b→∣\cos\varphi = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}. Број a→⋅b→∣b→∣\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} је пројекција вектора a→\overrightarrow{a} на правац вектора b→\overrightarrow{b}. Честа грешка: резултат је број, а не вектор.

xyzabφПревуците да окренете
2
−6
3
a · b
30
|a| · |b| · cos φ
30
Угао φ
31°
На почетку је пример са панелом, a→=n→\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} и b→=s→\overrightarrow{b} = \overrightarrow{s}: скаларни производ је 30, а угао око 31∘31^\circ. Нађите положај у ком је скаларни производ нула: угао је тада тачно 90∘90^\circ. Кад угао пређе 90∘90^\circ, производ постаје негативан.

Физичари скаларним производом силе и помераја рачунају рад, а програми за 3D графику и игре њиме одређују колико је површина осветљена: што је мањи угао између нормале површине и правца светлости, површина је светлија.

Сунце на соларном панелу

Соларни панел на крову окренут је ка југу. У координатном систему у ком оса xx иде ка истоку, оса yy ка северу, а оса zz навише, вектор нормалан на панел је n→=(0,−3,4)\overrightarrow{n} = (0, -3, 4). Једног преподнева правац ка Сунцу је s→=(2,−6,3)\overrightarrow{s} = (2, -6, 3). Панел даје 400 W кад зраци падају нормално на њега, а снага је сразмерна косинусу угла између n→\overrightarrow{n} и s→\overrightarrow{s}. Под којим углом према нормали падају зраци и колику снагу панел тада даје?

Решење

  1. Скаларни производ у координатама: n→⋅s→=0⋅2+(−3)⋅(−6)+4⋅3=30\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{s} = 0 \cdot 2 + (-3) \cdot (-6) + 4 \cdot 3 = 30.
  2. Интензитети вектора: ∣n→∣=0+9+16=5|\overrightarrow{n}| = \sqrt{0 + 9 + 16} = 5 и ∣s→∣=4+36+9=7|\overrightarrow{s}| = \sqrt{4 + 36 + 9} = 7.
  3. Из дефиниције скаларног производа: cos⁡φ=305⋅7=67≈0,857\cos\varphi = \frac{30}{5 \cdot 7} = \frac{6}{7} \approx 0{,}857, па је φ≈31∘\varphi \approx 31^\circ.
  4. Снага је 400⋅67≈343400 \cdot \frac{6}{7} \approx 343 W.

Одговор: Зраци падају под углом од око 31∘31^\circ према нормали панела, а панел тада даје око 343 W.

Задатак за вежбу

За коју вредност броја mm су вектори a→=(2,m,1)\overrightarrow{a} = (2, m, 1) и b→=(3,−2,4)\overrightarrow{b} = (3, -2, 4) нормални?

Прикажи решење

Нормални су кад је a→⋅b→=0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0: 2⋅3+m⋅(−2)+1⋅4=10−2m=02 \cdot 3 + m \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 10 - 2m = 0, па је m=5m = 5.