Ваљак – примери 1

Површина и запремина ваљка. Ваљак уписан у призму, ваљак описан око призме. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Пречник основе правог ваљка је 12cm, а дијагонала осног пресека ваљка 13cm. Израчунати површину и запремину правилне тростране призме уписане у ваљак.

Пр.2) У правилну четворострану призму запремине $128c{m^3}$ и дијагонале основе $4\sqrt 2 cm$ уписан је ваљак. Одреди површину ваљка.

Пр.3) Разлика висине и полупречника основе правог ваљка је 10cm. Израчунати запремину ваљка, ако знамо да је његова површина $144\pi c{m^2}$ .

Пр.1) Означимо висину призме са ${H_p}$ , висину ваљка са ${H_v}$ . Онда ${H_p} = {H_v} = H$ . $D$ је дијагонала осног пресека ваљка, $R$ је пречник основе ваљка, $r$ је полупречник основе ваљка, $a$ je страница базе призме,а ${h_a}$ је висина базе призме.

232

У плавом троуглу:

$\begin{aligned}&{H^2} = {D^2} - {R^2} \\ &{H^2} = 169 - 144 \\ &{H^2} = 25 \\ &H = 5cm\end{aligned}$

Израчунамо страницу троугла $a$

$\begin{aligned}&r = 6cm \\ &\frac{2}{3}{h_a} = 6 \\ &\frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 6 \\ &\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = 6 \\ &a = 6\sqrt 3 cm\end{aligned}$

Сад можемо израчунати површину и запремину призме.

$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &P = 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3aH \\ &P = 2\frac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} + 3 \cdot 6\sqrt 3 \cdot 5 \\ &P = 54\sqrt 3 + 90\sqrt 3 \\ &P = 144\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &V = BH \\ &V = 27\sqrt 3 \cdot 5 \\ &V = 135\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$

Пр.2)

370

$\begin{aligned}&d = 4\sqrt 2 \\ &{d^2} = {a^2} + {a^2} \\ &32 = 2{a^2} \\ &{a^2} = 16 \\ &a = 4cm \\ &r = \frac{a}{2} = 2cm \\ & \\ &{V_n} = 128 \\ &BH = 128 \\ &{a^2}H = 128 \\ &16H = 128 \\ &H = 8cm \\ & \\ &P = 2B + M \\ &P = 2{r^2}\pi + 2r\pi \cdot H \\ &P = 2 \cdot {2^2}\pi + 2 \cdot 2\pi \cdot 8 \\ &P = 8\pi + 32\pi \\ &P = 40\pi c{m^2}\end{aligned}$

Пр.3)

371

$\begin{aligned}&H - r = 10cm \\ &H = 10 + r \\ &P = 2B + M \\ &P = 2{r^2}\pi + 2r\pi \cdot H \\ &P = 2{r^2}\pi + 2r\pi \cdot \left( {10 + r} \right) \\ &144\pi = 2{r^2}\pi + 20r\pi + 2{r^2}\pi \\ &144\pi = 4{r^2}\pi + 20r\pi \\ &144\pi = 4\pi \left( {{r^2} + 5r} \right) \\ &36 = {r^2} + 5r \\ &{r^2} + 5r - 36 = 0 \\ &{r_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {25 + 144} }}{2} \\ &{r_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm 13}}{2} \\ &{r_1} = - 9 \\ &{r_2} = 4cm \\ & \\ &H = 10 + r \\ &H = 10 + 4 \\ &H = 14cm \\ & \\ &V = B \cdot H \\ &V = {r^2}\pi \cdot H \\ &V = {4^2}\pi \cdot 14 \\ &V = 224\pi c{m^3}\end{aligned}$

Ваљак полупречника $r$ и висине $H$ има површину $P = 2r^2\pi + 2r\pi H = 2r\pi(r + H)$ и запремину $V = r^2\pi H$ . Осни пресек је правоугаоник $2r \times H$ , па је његова дијагонала $D^2 = (2r)^2 + H^2$ .

Кад је правилна призма уписана у ваљак, темена основе леже на кругу: полупречник ваљка је полупречник описане кружнице основе, $r = \frac{a\sqrt3}{3}$ за троугао и $r = \frac{a\sqrt2}{2}$ за квадрат. Кад је ваљак уписан у призму, његов полупречник је полупречник уписане кружнице основе, на пример $r = \frac{a}{2}$ за квадрат. Висине ваљка и призме су једнаке. Задатак са разликом $H - r$ и површином своди се на квадратну једначину по $r$ , а негативно решење се одбацује.

Угао дијагонале30°

Ширина греде: 3,46 dm
Висина греде: 2 dm
Површина пресека: 6,93 dm²
Део круга: 55,1%

Темена правоугаоног пресека увек леже на кругу трупца, а дијагонала је пречник од 4 dm. Највећа површина, 8 dm², добија се за угао од

45^\circ

, кад је пресек квадрат: то је

\frac{2}{\pi}

, око 64 % круга.

Пилане и столари рачунају колико грађе може да се добије из трупца, а инжењери из истих односа бирају цев у коју стаје кабл или носач одређеног пресека.

Греда од трупца

Од трупца дужине 4 m и пречника 40 cm тестерише се греда квадратног пресека, што је могуће дебља. Колика је страница пресека греде и који део дрвета оде у отпад?

Решење

Греда је правилна четворострана призма уписана у ваљак: квадрат пресека уписан је у круг, па му је дијагонала пречник. Из $a\sqrt2 = 4$ dm следи $a = 2\sqrt2 \approx 2{,}83$ dm.
Запремина греде, са дужином $H = 40$ dm: $V_g = a^2H = 8 \cdot 40 = 320$ dm³.
Запремина трупца: $V_t = r^2\pi H = 2^2 \cdot \pi \cdot 40 = 160\pi \approx 502{,}7$ dm³.
Однос: $\frac{V_g}{V_t} = \frac{320}{160\pi} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}64$ , па у отпад иде око 36 % дрвета, односно $502{,}7 - 320 \approx 182{,}7$ dm³.

Одговор: Страница пресека греде је око 28,3 cm, а у отпад иде око 36 % трупца, приближно 0,18 m³.

Задатак за вежбу

У правилну тространу призму основне ивице $6\sqrt3$ cm и висине 10 cm уписан је ваљак. Израчунајте површину и запремину ваљка.

Прикажи решење

Полупречник ваљка је полупречник уписане кружнице основе: $r = \frac{a\sqrt3}{6} = \frac{6\sqrt3 \cdot \sqrt3}{6} = 3$ cm. $P = 2 \cdot 9\pi + 2 \cdot 3\pi \cdot 10 = 78\pi \approx 245{,}0$ cm², $V = 9\pi \cdot 10 = 90\pi \approx 282{,}7$ cm³.