Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 5

Једначина праве кроз две тачке. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.7) Одредити једначину праве која пролази кроз тачку $M\left( { - 3,2} \right)$ , а са

позитивним делом $x$ - осе гради угао од ${135^ \circ }$ .

Пр.8) Одредити једначине страница, једначине тежишних дужи и

координате тежишта троугла $A\left( {3,2} \right)$ , $B\left( {5, - 2} \right)$ и $C\left( {1,0} \right)$ .

Пр.7)

$y - {y_1} = k\left( {x - {x_1}} \right)$ - једначина праве која пролази кроз тачку $M\left( {x_1,y_1} \right)$ .

$\begin{aligned}&k = tg{135^ \circ } = - 1 \\ &y - 2 = - 1\left( {x + 3} \right) \\ &y - 2 = - x - 3 \\ &y = 2 - x - 3 \\ &\underline {y = - x - 1} \\ & \\ &p:y = kx + n \\ &y = - x + n \\ &M \in p \Rightarrow 2 = 3 + n \Rightarrow n = - 1 \\ &\underline {y = - x - 1}\end{aligned}$

Пр.8)

411 png

$y - {y_1} = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\left( {x - {x_1}} \right)$ - једначина праве која пролази кроз тачкe $M_1\left( {x_1,y_1} \right)$ и $M_2\left( {x_2,y_2} \right)$ .

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {a = p\left( {BC} \right):}&{y + 2 = \frac{{0 + 2}}{{1 - 5}}\left( {x - 5} \right)} \\ {}&\begin{aligned}&y + 2 = - \frac{1}{2}\left( {x - 5} \right) \\ &y = - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} - \frac{4}{2} \\ &a:y = - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\end{aligned} \end{array}$

слично $b = p\left( {AC} \right)$ и $c = p\left( {AB} \right)$ .

Израчунамo координате sредишта $BC$ :

$\begin{aligned}&{A_1} = \left( {\frac{{1 + 5}}{2},\frac{{0 - 2}}{2}} \right) \\ &{A_1} = \left( {3, - 1} \right) \\ &{t_a} = p\left( {A{A_1}} \right):y - 2 = \frac{{ - 1 - 2}}{{3 - 3}}\left( {x - 3} \right) \\ &y - 2 = - \frac{3}{0}\left( {x - 3} \right) \\ &0 \cdot \left( {y - 2} \right) = - 3\left( {x - 3} \right) \\ &0 = - 3\left( {x - 3} \right) \\ &x - 3 = 0 \\ &x = 3 \\ &{t_a}:x = 3\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{t_b} = p\left( {B{B_1}} \right):y = - x + 3 \\ & \\ &\left\{ {T\left( {x,y} \right)} \right\} = {t_a} \cap {t_b} \\ &x = 3 \\ &\underline {y = - x + 3} \\ &x = 3 \\ &y = - 3 + 3 = 0 \\ &T\left( {3,0} \right)\end{aligned}$

Праву кроз тачку $M(x_1, y_1)$ са коефицијентом правца $k$ пишете као $y - y_1 = k(x - x_1)$ ; ако је задат угао $\alpha$ са позитивним делом осе $x$ , онда је $k = \operatorname{tg}\alpha$ . Праву кроз две тачке добијате истом формулом, са $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

За једначину тежишне дужи прво нађите средиште наспрамне странице, па праву кроз теме и то средиште. Тежиште $T$ је пресек две тежишне дужи: добијате га решавањем система, а проверавате формулом $T\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ . Ако теме и средиште имају исто $x$ , тежишна дуж лежи на вертикалној правој $x = x_1$ , која нема коефицијент правца. Тада формулу за $k$ не примењујте, јер бисте делили нулом.

Фонтана T, x: 2
Фонтана T, y: 2
Нагиб стазе из A: 0,75
AT : TA₁: 2

Све три тежишне дужи увек се секу у истој тачки

T

, која је на трећини сваке од њих рачунајући од странице. Кад

C

и

C_1

имају исто

x

, стаза из

C

је вертикална и нема коефицијент правца.

Хомогена троугласта плоча остаје у равнотежи ослоњена на један стуб само ако је он испод њеног тежишта; тако се одређује место ослонца троугласте надстрешнице или стола. Пројектанти паркова стазе на плану задају једначинама правих.

Стазе у троугластом парку

Троугласти парк има темена $A(-2, -1)$ , $B(6, 1)$ и $C(2, 6)$ на плану са јединицом 10 m. Три стазе воде од сваког угла до средине наспрамне ивице, а фонтана је тамо где се стазе секу. Напишите једначине стаза из $A$ и из $C$ и одредите положај фонтане.

Решење

Средиште странице $AB$ је $C_1\left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = C_1(2, 0)$ . Теме $C(2, 6)$ има исто $x$ , па је стаза из $C$ права $x = 2$ .
Средиште странице $BC$ је $A_1\left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{1 + 6}{2}\right) = A_1\left(4, \frac{7}{2}\right)$ .
Стаза из $A$ : $k = \frac{\frac{7}{2} + 1}{4 + 2} = \frac{3}{4}$ , па је $y + 1 = \frac{3}{4}(x + 2)$ , односно $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$ .
Пресек: за $x = 2$ је $y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ , па је $T(2, 2)$ . Провера: $\left(\frac{-2 + 6 + 2}{3}, \frac{-1 + 1 + 6}{3}\right) = (2, 2)$ .

Одговор: Стазе из $A$ и $C$ леже на правама $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$ и $x = 2$ , а фонтана је у тежишту $T(2, 2)$ .

Задатак за вежбу

Напишите једначину праве која пролази кроз тачку $M(2, -3)$ и са позитивним делом осе $x$ заклапа угао од $60^\circ$ .

Прикажи решење

$k = \operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}$ , па је $y + 3 = \sqrt{3}(x - 2)$ , односно $y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3} - 3$ .