Детерминанте трећег реда

Детерминанте трећег реда. Дефиниција, развој по врсти или колони.

Детерминанта трећег реда своди се на детерминанте другог реда. Развој по првој врсти гласи $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} - b_1\begin{vmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} + c_1\begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}$ : сваки елемент прве врсте множи се детерминантом која остане кад се прецртају његова врста и колона.

На исти начин се развија по било којој врсти или колони, а елемент у $i$ -тој врсти и $j$ -тој колони добија знак $(-1)^{i+j}$ , по шеми шаховске табле. Бирајте врсту или колону са највише нула, а нуле направите особинама, на пример одузимањем врста. Најчешћа грешка је заборављен минус испред средњег члана.

D =

D= 2·(12·1 − 1·21)− 3·(14·1 − 1·26)+ 1·(14·21 − 12·26)= −18 + 36 − 18 = 0

Детерминанта D = 0.

Детерминанта: 0

Овде је детерминанта развијена по првој врсти, а резултат је исти као развој по трећој колони у примеру. Упишите 22 уместо 21, као да је треће стабло померено за 1 m: детерминанта постаје 12 и стабла више нису на правој.

Детерминантом трећег реда геодети и програмери проверавају да ли су три тачке на истој правој, на пример стубови или стабла у дрвореду, и рачунају површине из координата.

Дрворед у воћњаку

Воћар у Шумадији сади јабуке у дрворед. У метрима, мерено од угла парцеле, прва три стабла су у тачкама $A(2, 3)$ , $B(14, 12)$ и $C(26, 21)$ . Три тачке леже на истој правој тачно кад је $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 14 & 12 & 1 \\ 26 & 21 & 1 \end{vmatrix} = 0$ . Да ли је дрворед прав?

Решење

Одузмемо прву врсту од друге и од треће, што не мења вредност: $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 12 & 9 & 0 \\ 24 & 18 & 0 \end{vmatrix}$ .
Развијамо по трећој колони, у којој су две нуле. Јединица је у првој врсти и трећој колони, па има знак $(-1)^{1+3} = +1$ : $D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 12 & 9 \\ 24 & 18 \end{vmatrix}$ .
$\begin{vmatrix} 12 & 9 \\ 24 & 18 \end{vmatrix} = 12 \cdot 18 - 9 \cdot 24 = 216 - 216 = 0$ .

Одговор: Детерминанта је 0, па су сва три стабла на истој правој и дрворед је прав.

Задатак за вежбу

Развијањем по првој врсти израчунајте $\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \end{vmatrix}$ .

Прикажи решење

$2 \cdot (8 - 5) - 0 + (-1) \cdot (15 - 4) = 6 - 11 = -5$ .