Детерминанте – дефиниција и особине

Детерминанте. Дефиниција, особине.

Детерминанта другог реда је број придружен квадратној шеми од четири броја: $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ , производ на главној дијагонали минус производ на споредној. Особине олакшавају рачун. Детерминанта се не мења кад врсте постану колоне. Замена две врсте или две колоне мења јој знак. Заједнички чинилац једне врсте или колоне сме се извући испред детерминанте. Ако су две врсте једнаке или пропорционалне, детерминанта је нула. Кад се једној врсти дода друга помножена бројем, вредност остаје иста.

Честа грешка: чинилац се извлачи из само једне врсте, па је $\begin{vmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{vmatrix} = k^2(ad - bc)$ , а не $k(ad - bc)$ .

Детерминанта ad − bc: 18
Површина паралелограма: 18 m²

Врсте детерминанте су координате вектора

\overrightarrow{OA}

и

\overrightarrow{OB}

, а површина паралелограма је

|ad - bc|

. Док је

A

на оси

x

, водоравно померање тачке

B

не мења ни површину ни детерминанту. Кад

B

доведете на праву

OA

, детерминанта је нула, а кад

B

пређе на другу страну те праве, детерминанта мења знак.

Геодети детерминантом рачунају површине парцела из координата темена, а програми за цртање и видео игре по њеном знаку одређују да ли је многоугао нацртан у смеру казаљке на сату или супротно.

Цветна леја

Баштован у Сомбору прави цветну леју у облику паралелограма. Из једног темена полазе две странице, које у метрима представљају вектори $(6, 0)$ и $(2, 3)$ . Површина паралелограма једнака је апсолутној вредности детерминанте чије су врсте ове координате. Колика је површина леје? Да ли ће се она променити ако баштован горњу ивицу помери 1,5 m удесно, тако да друга страница постане $(3{,}5;\ 3)$ ?

Решење

$D = \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 6 \cdot 3 - 0 \cdot 2 = 18$ , па леја има 18 m².
Нова друга врста настаје кад се другој врсти дода прва помножена са $0{,}25$ : $(2, 3) + 0{,}25 \cdot (6, 0) = (3{,}5;\ 3)$ .
Таква промена не мења детерминанту: $\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3{,}5 & 3 \end{vmatrix} = 18 - 0 = 18$ .
За поређење, кад би доња ивица била два пута дужа, из прве врсте би се извукао чинилац 2: $\begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 18 = 36$ .

Одговор: Леја има површину 18 m², а померањем горње ивице површина остаје 18 m².

Задатак за вежбу

Израчунајте $\begin{vmatrix} 14 & 21 \\ 6 & 12 \end{vmatrix}$ тако што најпре извучете заједничке чиниоце врста.

Прикажи решење

Из прве врсте извлачимо 7, из друге 6: $42 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 42 \cdot (4 - 3) = 42$ . Провера: $14 \cdot 12 - 21 \cdot 6 = 168 - 126 = 42$ .