Четвороуглови – примери 1

Паралелограм и правоугаоник, решени примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.3) Нека су ${d_1}$ и ${d_2}$ дијагонале паралелограма чији је оштар угао $\alpha = {60^ \circ }$ . Одредити $a:b$ ако је $d_1^2:d_2^2 = 3:1$ .

Пр.4) Израчунати површину и обим паралелограма ако је дужина страница правоугаоника $a = 6\sqrt 3 cm$ , а оштар угао између дијагонала $\varphi = {60^ \circ }$ .

Пр.3

201

$\begin{aligned}&d_1^2 = 3d_2^2 \\ &d_2^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos {60^ \circ } \\ &d_2^2 = {a^2} + {b^2} - ab \\ & \\ &d_1^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos {120^ \circ } \\ &d_1^2 = {a^2} + {b^2} + ab \\ & \\ &d_1^2 = 3d_2^2 \\ &{a^2} + {b^2} + ab = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) \\ &{a^2} + {b^2} + ab = 3{a^2} + 3{b^2} - 3ab \\ &- 2{a^2} - 2{b^2} + 4ab = 0 \\ &{a^2} + {b^2} - 2ab = 0 \\ &{\left( {a - b} \right)^2} = 0 \\ &a - b = 0 \\ &a = b\end{aligned}$

Пр.4

204

Знамо да у правоугаонику дијагонале једнаке и тачка пресека је њихово средиште, онда црвен троугао је једнакостранични. $b = \frac{d}{2}$

Зелени троугао је правоугли. Онда

$\begin{aligned}&{d^2} = {a^2} + {b^2} \\ &{d^2} = {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{d}{2}} \right)^2} \\ &{d^2} = 108 + \frac{{{d^2}}}{4} \\ &4{d^2} = 432 + {d^2} \\ &3{d^2} = 432 \\ &{d^2} = 144 \\ &d = 12cm\end{aligned}$

$b = 12:2 = 6cm$

$\begin{aligned}&O = 2a + 2b \\ &O = 12\sqrt 3 + 12 \\ &O = 12\left( {\sqrt 3 + 1} \right)cm \\ & \\ &P = a \cdot b \\ &P = 6\sqrt 3 \cdot 6 \\ &P = 36\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$

Задаци са паралелограмом и правоугаоником решавају се разбијањем на троуглове. У паралелограму са страницама $a$ и $b$ и оштрим углом $\alpha$ дијагонале следе из косинусне теореме: $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$ и $d_1^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha$ , јер је $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ . Однос дијагонала тако даје једначину по $a$ и $b$ .

У правоугаонику су дијагонале једнаке и полове се, па са страницама граде једнакокраке троуглове. Ако се дијагонале секу под углом од $60^\circ$ , троугао над краћом страницом је једнакостраничан и $b = \frac{d}{2}$ ; у општем случају је $\operatorname{tg}\frac{\varphi}{2} = \frac{b}{a}$ . Остатак даје Питагорина теорема $d^2 = a^2 + b^2$ . Честа грешка је заменити оштар и туп угао између дијагонала.

Ширина a3 m

Висина b1,73 m

Дијагонала d: 3,46 m
Угао φ: 59,9°
Обе летве: 6,93 m

Угао

\varphi

између дијагонала наспрам краће странице одређен је односом страница:

\operatorname{tg}\frac{\varphi}{2} = \frac{b}{a}

. За ширину 3 m угао је

60^\circ

кад је висина

\sqrt 3 \approx 1{,}73

m, као у примеру.

Столари и бравари дијагоналама укрућују капије, рамове и полице; дужину летви и угао под којим се укрштају рачунају из страница правоугаоника и Питагорине теореме.

Укрућење капије

Мајстор прави дрвену капију широку 3 m и укрућује је двема дијагоналним летвама. Жели да се летве секу под оштрим углом од $60^\circ$ , који лежи наспрам краће, бочне странице капије. Колика треба да буде висина капије и колико летве треба за обе дијагонале?

Решење

Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се. Троугао над висином $b$ , са теменом у пресеку дијагонала, има два крака $\frac{d}{2}$ и угао од $60^\circ$ између њих, па је једнакостраничан: $b = \frac{d}{2}$ .
Питагорина теорема: $d^2 = 3^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$ , па је $\frac{3d^2}{4} = 9$ , $d^2 = 12$ и $d = 2\sqrt 3 \approx 3{,}46$ m.
Висина капије: $b = \frac{d}{2} = \sqrt 3 \approx 1{,}73$ m.
За две летве треба $2d = 4\sqrt 3 \approx 6{,}93$ m.

Одговор: Капија треба да буде висока око 1,73 m, а за обе дијагоналне летве треба око 6,93 m.

Задатак за вежбу

Паралелограм има странице 8 cm и 5 cm и оштар угао $60^\circ$ . Израчунајте обе дијагонале.

Прикажи решење

$d_2^2 = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , па је $d_2 = 7$ cm; $d_1^2 = 64 + 25 + 40 = 129$ , па је $d_1 = \sqrt{129} \approx 11{,}36$ cm.