Троугао и трапез – примери

Троугао и трапез, решени задаци. Површина, обим, висина, средња линија. Примена Хероновог обрасца.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Дужине странице троугла су 10cm, 17cm и 21cm. Одредити све висине троугла, полупречник уписане кружнице и полупречник описане кружнице.

Пр.2) У једном трапезу површине $P = 32c{m^2}$ и висине $h = 4cm$ разлика основица је 6. Одредити дужине основица, а затим одредити дужину дијагонале.

Пр.1

119

$\begin{aligned}&P = \frac{{a{h_a}}}{2} = \frac{{b{h_b}}}{2} = \frac{{c{h_c}}}{2} \\ &P = \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} \\ &s = \frac{{a + b + c}}{2} \\ &s = \frac{{10 + 17 + 21}}{2} \\ &s = 24cm \\ &P = \sqrt {24\left( {24 - 10} \right)\left( {24 - 17} \right)\left( {24 - 21} \right)} \\ &P = \sqrt {7056} \\ &P = 84c{m^2} \\ &{h_a} = \frac{{2P}}{a} \\ &{h_a} = \frac{{2 \cdot 84}}{{10}} = 16,8cm \\ &{h_b} = \frac{{2P}}{b} \\ &{h_b} = \frac{{2 \cdot 84}}{{17}} \approx 9,88cm \\ &{h_c} = \frac{{2P}}{c} \\ &{h_c} = \frac{{2 \cdot 84}}{{21}} = 8cm \\ &P = r \cdot s \\ &r = \frac{P}{s} \\ &r = \frac{{84}}{{24}} \\ &r = 3,5cm\end{aligned}$

Пр.2

200

$\begin{aligned}&P = \frac{{a + b}}{2} \cdot h \\ &32 = \frac{{a + b}}{2} \cdot 4 \\ &a + b = 16 \\ & \\ &\left\{ \begin{aligned}&a + b = 16 \\ &a - b = 6\end{aligned} \right. + \left\{ \begin{aligned}&2a = 22 \\ &a + b = 16\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&a = 11 \\ &a + b = 16\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&a = 11 \\ &11 + b = 16\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&a = 11 \\ &b = 5\end{aligned} \right. \\ & \\ &x = 3 \\ &a - x = 8 \\ & \\ &{d^2} = {h^2} + {\left( {a - x} \right)^2} \\ &{d^2} = 16 + 64 \\ &{d^2} = 80 \\ &d = \sqrt {80} = 4\sqrt 5 cm\end{aligned}$

Кад су познате све три странице троугла, површину рачунате Хероновим обрасцем: $s = \frac{a + b + c}{2}$ и $P = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ . Из површине добијате остало: висине $h_a = \frac{2P}{a}$ , $h_b = \frac{2P}{b}$ , $h_c = \frac{2P}{c}$ , полупречник уписаног круга $r = \frac{P}{s}$ и описаног $R = \frac{abc}{4P}$ . Најкраћа висина припада најдужој страници. Ако је неки чинилац под кореном нула или негативан, троугао са тим страницама не постоји.

Код трапеза из $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$ налазите збир основица, а уз познату разлику и саме основице, решавањем система. Дијагоналу једнакокраког трапеза рачунате из правоуглог троугла са катетама $h$ и $a - x$ , где је $x = \frac{a - b}{2}$ пројекција крака. Честа грешка је заборавити корен у Хероновом обрасцу или полуобим заменити обимом.

Полуобим s: 7 m
Површина P: 8,4 m²
Висина h: 3 m
r = P/s: 1,2 m

Почетни троугао је тенда из примера: странице 5,6 m, 5 m и 3,4 m, површина 8,4 m² и висина 3 m. Померајте

C

и пратите како висина, површина и уписани круг полупречника

r = \frac{P}{s}

зависе од страница.

Херонов образац користе геометри и мајстори кад могу да измере само странице, на пример троугласте парцеле, једра или тенде, без мерења углова.

Тенда за сенку

Троугласта тенда разапета је водоравно изнад терасе: два угла су причвршћена за зид куће на растојању од 5,6 m, а трећи за стуб. Ивице тенде од зида до стуба су 5 m и 3,4 m. Колико платна има тенда и колико је стуб удаљен од зида?

Решење

Полуобим: $s = \frac{5{,}6 + 5 + 3{,}4}{2} = 7$ m.
Херонов образац: $P = \sqrt{7 \cdot 1{,}4 \cdot 2 \cdot 3{,}6} = \sqrt{70{,}56} = 8{,}4$ m².
Растојање стуба од зида је висина на страницу од 5,6 m: $h = \frac{2P}{5{,}6} = \frac{16{,}8}{5{,}6} = 3$ m.
Провера: подножје висине дели ивицу на зиду на $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ m и $\sqrt{3{,}4^2 - 3^2} = 1{,}6$ m, а $4 + 1{,}6 = 5{,}6$ m.

Одговор: Тенда има 8,4 m² платна, а стуб је 3 m од зида.

Задатак за вежбу

Једнакокраки трапез има површину 48 cm² и висину 4 cm, а разлика основица је 6 cm. Израчунајте основице и дијагоналу трапеза.

Прикажи решење

Из $\frac{a + b}{2} \cdot 4 = 48$ следи $a + b = 24$ , а уз $a - b = 6$ је $a = 15$ cm и $b = 9$ cm. Пројекција крака је $x = 3$ cm, па је $d = \sqrt{4^2 + (15 - 3)^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \approx 12{,}65$ cm.