Крамерово правило – примери 4

Дискусија решења система једначина, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4) Решити систем једначина са параметрима.

$x + y + z = a$

$x + \left( {1 + a} \right)y + z = 2a$

$x + y - \left( {1 + a} \right)z = 0$

4)

$\begin{aligned}&{D_s} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&1 \\ 1&{1 + a}&1 \\ 1&1&{ - \left( {1 + a} \right)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&0 \\ 1&a&0 \\ 1&0&{ - 1 - a - 1} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&0 \\ 0&{ - 2 - a} \end{array}} \right| = a\left( { - 2 - a} \right) = - a\left( {a + 2} \right) \\ & \\ &{D_x} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&1&1 \\ {2a}&{1 + a}&1 \\ 0&1&{ - \left( {1 + a} \right)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&1&1 \\ 0&{a - 1}&{ - 1} \\ 0&1&{ - \left( {1 + a} \right)} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= a\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {a - 1}&{ - 1} \\ 1&{ - 1 - a} \end{array}} \right| = a\left( {\left( {a - 1} \right)\left( { - 1 - a} \right) + 1} \right) = a\left( {2 - {a^2}} \right) \\ & \\ &{D_y} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&a&1 \\ 1&{2a}&1 \\ 1&0&{ - \left( {1 + a} \right)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&{ - a}&1 \\ { - 1}&0&{ - 1} \\ 1&0&{ - \left( {1 + a} \right)} \end{array}} \right| = - a\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 1}&{ - 1} \\ 1&{ - \left( {1 + a} \right)} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= - a\left( {1 + a + 1} \right) = - a\left( {a + 2} \right) \\ & \\ &{D_z} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&a \\ 1&{1 + a}&{2a} \\ 1&1&0 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&a \\ 1&a&{2a} \\ 1&0&0 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&a \\ a&2 \end{array}} \right| = a\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&1 \\ a&2 \end{array}} \right| = - {a^2} \\ & \\ &{D_s} = - a\left( {a + 2} \right) \\ &{D_x} = a\left( {2 - {a^2}} \right) \\ &{D_y} = - a\left( {a + 2} \right) \\ &{D_z} = - {a^2}\end{aligned}$

1) ${D_s} \ne 0$ јединствено решење

$\begin{aligned}&- a\left( {a + 2} \right) \ne 0 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - a \ne 0}& \cap &{a + 2 \ne 0} \\ {a \ne 0}&{}&{a \ne - 2} \\ {}&{}&{} \end{array} \\ &x = \frac{{{D_x}}}{{{D_s}}} = \frac{{a\left( {2 - {a^2}} \right)}}{{ - a\left( {a + 2} \right)}} = \frac{{2 - {a^2}}}{{a + 2}} \\ & \\ &y = \frac{{{D_y}}}{{{D_s}}} = \frac{{ - a\left( {a + 2} \right)}}{{ - a\left( {a + 2} \right)}} = 1 \\ & \\ &z = \frac{{{D_z}}}{{{D_s}}} = \frac{{ - {a^2}}}{{ - a\left( {a + 2} \right)}} = \frac{a}{{a + 2}} \\ & \\ &\left( {x,y,z} \right) = \left( {\frac{{2 - {a^2}}}{{a + 2}},1,\frac{a}{{a + 2}}} \right)\end{aligned}$

2) ${D_s} = 0$

Ако је $a = 1$

${D_s} = {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0$ - неодређен систем

$\begin{aligned}&x + y + z = 0 \\ &x + y + z = 0 \\ &x + y - z = 0\end{aligned}$ једноструко неодређен систем

$\begin{aligned}&x + y + z = 0 \\ &x + y + z = 0 \\ &\underline {x + y - z = 0} \\ &x + y + z = 0 \\ &\underline {2x + 2y = 0} \\ &x + y + z = 0 \\ &x + y = 0 \Rightarrow y = - x \\ &x + \left( { - x} \right) + z = 0 \\ &z = 0 \\ &\left( {x,y,z} \right) = \left( {x, - x,0} \right)\end{aligned}$

Ако је $a = -2$

$\begin{aligned}&{D_s} = 0 \\ &{D_x} = a\left( {2 - {a^2}} \right) = - 2\left( {2 - 4} \right) = 4 \ne 0\end{aligned}$ систем нема решења

Систем са параметром $a$ решава се увек истим редом: прво $D$ , затим $D_x$ , $D_y$ и $D_z$ , све растављене на чиниоце. Нуле се праве одузимањем прве врсте од осталих, па параметар често остане само на дијагонали, као у $D = -a(a + 2)$ . За $a \neq 0$ и $a \neq -2$ решење је јединствено и зависи од $a$ ; проверите га уврштавањем једне конкретне вредности, на пример $a = 1$ . За $a = 0$ све детерминанте су нуле, а Гаусов поступак оставља једну слободну непознату: систем је једноструко неодређен. За $a = -2$ је $D = 0$ , а $D_x \neq 0$ , па решења нема.

Одговор наведите посебно за сваки случај.

Цена минута у другом пакету2 дин.

Број минута50 min

Детерминанта D = k − 4: −2
Рачун у првом пакету: 700 дин.
Рачун у другом пакету: 900 дин.

Превуците тачке на правама док се не поклопе: тада су рачуни једнаки. За

k = 2

то је 150 минута. Кад

k

приближавате броју 4, пресек бежи удесно, а за

k = 4

праве су паралелне:

D = k - 4 = 0

и решења нема.

Оператери, банке и продавнице нуде тарифе које зависе од једног броја, цене минута или камате; дискусија по параметру показује кад се два пакета изједначе, а кад никад.

Два тарифна пакета

Мобилни оператер нуди два пакета: у првом је месечна претплата 500 динара и сваки минут разговора кошта 4 динара, а у другом је претплата 800 динара и минут кошта $k$ динара. Нека је $x$ број минута, а $y$ месечни рачун, па је $-4x + y = 500$ и $-kx + y = 800$ . Испитајте Крамеровим правилом за које $k$ постоји број минута за који су рачуни једнаки и нађите га за $k = 2$ .

Решење

$D = \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -k & 1 \end{vmatrix} = -4 + k = k - 4$ .
$D_x = \begin{vmatrix} 500 & 1 \\ 800 & 1 \end{vmatrix} = 500 - 800 = -300$ и $D_y = \begin{vmatrix} -4 & 500 \\ -k & 800 \end{vmatrix} = 500k - 3200$ .
За $k \neq 4$ : $x = \frac{-300}{k - 4} = \frac{300}{4 - k}$ . Број минута је позитиван само кад је $k < 4$ .
За $k = 4$ је $D = 0$ , а $D_x = -300 \neq 0$ : решења нема, други пакет је увек 300 динара скупљи.
За $k = 2$ : $x = \frac{300}{2} = 150$ и $y = \frac{1000 - 3200}{-2} = 1100$ . Провера: $500 + 4 \cdot 150 = 1100$ .

Одговор: За $k < 4$ рачуни се изједначе при $\frac{300}{4 - k}$ минута; за $k = 2$ то је 150 минута и рачун од 1100 динара. За $k \geq 4$ рачуни никад нису једнаки.

Задатак за вежбу

Дискутујте систем $x + y + z = 1$ , $x + ay + z = 2$ , $x + y + az = a$ у зависности од параметра $a$ .

Прикажи решење

$D = (a - 1)^2$ , $D_x = 1 - a$ , $D_y = a - 1$ , $D_z = (a - 1)^2$ . За $a \neq 1$ : $x = \frac{1}{1 - a}$ , $y = \frac{1}{a - 1}$ , $z = 1$ . За $a = 1$ све детерминанте су нуле, али прве две једначине гласе $x + y + z = 1$ и $x + y + z = 2$ , па систем нема решења.