Крамерово правило – примери 3

Решавање једначина задатих у облику детерминанте.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4) Решити систем једначина са параметрима.

$ax + y + z = 1$

$x - ay + z = 1$

$x + y + az = 1$

Пр.4)

$\begin{aligned}&{D_s} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&1&1 \\ 1&a&1 \\ 1&1&a \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&1&1 \\ {1 - a}&{a - 1}&0 \\ {1 - {a^2}}&{1 - a}&0 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {1 - a}&{ - \left( {1 - a} \right)} \\ {\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}&{1 - a} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= {\left( {1 - a} \right)^2}\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&{ - 1} \\ {1 + a}&1 \end{array}} \right| = {\left( {1 - a} \right)^2}\left( {2 + a} \right) \\ & \\ &{D_x} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&1 \\ 1&a&1 \\ 1&1&a \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&0 \\ 1&{a - 1}&0 \\ 1&0&{a - 1} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {a - 1}&0 \\ 0&{a - 1} \end{array}} \right| = {\left( {a - 1} \right)^2} \\ & \\ &{D_y} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&1&1 \\ 1&1&1 \\ 1&1&a \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&{ - 1}&1 \\ {1 - a}&0&0 \\ {1 - a}&0&{a - 1} \end{array}} \right| = - 1 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {1 - a}&0 \\ {1 - a}&{a - 1} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= - \left( {1 - a} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0 \\ 1&{a - 1} \end{array}} \right| = \left( {a - 1} \right)\left( {a - 1} \right) = {\left( {a - 1} \right)^2} \\ & \\ &{D_z} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&1&1 \\ 1&a&1 \\ 1&1&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&{1 - a}&{1 - a} \\ 1&{a - 1}&0 \\ 1&0&0 \end{array}} \right| = \left( {1 - a} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&{a - 1} \\ 1&0 \end{array}} \right| = \\ & \\ &= \left( {1 - a} \right)\left( {0 - \left( {a - 1} \right)} \right) = {\left( {1 - a} \right)^2}\end{aligned}$

1) ${D_s} \ne 0$ јединствено решење

$\begin{aligned}&{\left( {1 - a} \right)^2}\left( {2 + a} \right) \ne 0 \\ &{\left( {1 - a} \right)^2} \ne 0 \cap \left( {2 + a} \right) \ne 0 \\ &1 - a \ne 0 \\ &a \ne 1 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{{\left( {1 - a} \right)}^2} \ne 0}& \cap &{\left( {2 + a} \right) \ne 0} \\ {1 - a \ne 0}&{}&{a \ne - 2} \\ {a \ne 1}&{}&{} \end{array} \\ &x = \frac{{{D_x}}}{{{D_s}}} = \frac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}\left( {2 + a} \right)}} = \frac{1}{{2 + a}} \\ & \\ &x = y = z = \frac{1}{{2 + a}} \\ &\left( {x,y,z} \right) = \left( {\frac{1}{{2 + a}},\frac{1}{{2 + a}},\frac{1}{{2 + a}}} \right)\end{aligned}$

2) ${D_s} = 0$

Ако је $a = 1$

$\begin{aligned}&{D_s} = {\left( {1 - a} \right)^2}\left( {2 + a} \right) = 0 \\ &{D_x} = {D_y} = {D_z} = 0 \\ &x + y + z = 1 \\ &x + y + z = 1 \\ &x + y + z = 1\end{aligned}$ двоструко неодређен систем

$\begin{aligned}&x = 1 - y - z \\ &\left( {x,y,z} \right) = \left( {1 - y - z,y,z} \right)\end{aligned}$

Ако је $a = -2$

$\begin{aligned}&{D_s} = {\left( {1 - a} \right)^2}\left( {2 - 2} \right) = 0 \\ &{D_x} = {\left( {1 + 2} \right)^2} = 9\end{aligned}$ систем нема решења

Кад коефицијенти система зависе од параметра $a$ , решење се дискутује преко детерминанти. Израчунајте $D$ , $D_x$ , $D_y$ , $D_z$ као изразе са $a$ и раставите их на чиниоце, на пример $D = (a - 1)^2(a + 2)$ . За свако $a$ за које је $D \neq 0$ решење је јединствено и добија се дељењем, уз скраћивање заједничких чинилаца. Затим посебно испитајте сваку вредност за коју је $D = 0$ . Ако је нека од $D_x$ , $D_y$ , $D_z$ различита од нуле, систем нема решења. Ако су све нуле, уврстите ту вредност у систем и решите га Гаусовим поступком: систем је тада неодређен, једноструко или двоструко, или немогућ.

Не скраћујте чинилац са $a$ пре него што издвојите вредности за које је он нула.

x+y=x+y=

D =

1−23−4

= 2

D_x =

4−212−4

= 8

D_y =

14312

= 0

x = D_x / D = 8 / 2 = 4

y = D_y / D = 0 / 2 = 0

Решење: x = 4, y = 0.

Детерминанта система D: 2
Пресек, x: 4
Пресек, y: 0
Број решења: 1

Ово је систем за

a = 3

, па се пут и пруга секу у тачки

(4, 0)

. Упишите 2 уместо 3:

D

постаје нула, а

D_x = 8

, па решења нема. Пробајте и 4 или 6 и пратите како се пресек помера.

Пројектанти често мењају један број у моделу, нагиб пута, цену или отпорник, и морају да знају за које вредности решење постоји; дискусија по параметру то показује унапред.

Пут поред пруге

На плану града, где је јединица 100 m, пруга лежи на правој $x - 2y = 4$ , а нови пут на правој $ax - 4y = 12$ , где урбаниста бира нагиб пута бројем $a$ . Испитајте Крамеровим правилом за које $a$ пут сече пругу и где, а за које пут и пруга немају заједничку тачку, па прелаз није потребан.

Решење

$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ a & -4 \end{vmatrix} = -4 + 2a = 2(a - 2)$ .
$D_x = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 12 & -4 \end{vmatrix} = -16 + 24 = 8$ и $D_y = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ a & 12 \end{vmatrix} = 12 - 4a$ .
За $a \neq 2$ је $D \neq 0$ : $x = \frac{8}{2(a - 2)} = \frac{4}{a - 2}$ и $y = \frac{12 - 4a}{2(a - 2)} = \frac{6 - 2a}{a - 2}$ .
За $a = 2$ је $D = 0$ , а $D_x = 8 \neq 0$ , па систем нема решења: пут је паралелан прузи.
На пример, за $a = 3$ пресек је у тачки $(4, 0)$ . Провера: $4 - 0 = 4$ и $12 - 0 = 12$ .

Одговор: За $a \neq 2$ пут сече пругу у тачки $\left(\frac{4}{a - 2}, \frac{6 - 2a}{a - 2}\right)$ , за $a = 3$ у тачки $(4, 0)$ , а за $a = 2$ пут је паралелан прузи и прелаз није потребан.

Задатак за вежбу

Дискутујте систем $ax + 2y = 4$ , $2x + ay = 4$ у зависности од параметра $a$ .

Прикажи решење

$D = a^2 - 4$ , $D_x = D_y = 4a - 8$ . За $a \neq \pm 2$ : $x = y = \frac{4}{a + 2}$ . За $a = 2$ обе једначине постају $x + y = 2$ , па је систем неодређен. За $a = -2$ је $D = 0$ и $D_x = -16 \neq 0$ , па решења нема.