Зарубљена купа – примери 1

Површина и запремина купе. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Дужина полупречника веће базе зарубљене купе износи 8cm, висина 5cm, а изводница је нагнута према равни основе под углом од ${45^ \circ }$ . Одреди површину и запремину ове купе.

Пр.2) Изводница зарубљене купе је 5cm, a разлика полупречника основа је 3cm. Израчунати површину и запремину ове зарубљене купе ако знамо да је површина омотача једнака половини укупне површине зарубљене купе.

Пр.1)

378

$\begin{aligned}&H = {r_1} - {r_2} = 5 \\ &8 - {r_2} = 5 \\ &{r_2} = 3cm \\ & \\ &{s^2} = {H^2} + \left( {{r_1} - {r_2}} \right) \\ &{s^2} = {5^2} + {5^2} \\ &{s^2} = 50 \\ &s = 5\sqrt 2 cm \\ & \\ &P = {B_1} + {B_2} + M \\ &P = r_1^2\pi + r_2^2\pi + s\pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right) \\ &P = {8^2}\pi + {3^2}\pi + 5\sqrt 2 \pi \left( {8 + 3} \right) \\ &P = 64\pi + 9\pi + 55\sqrt 2 \pi \\ &P = \left( {73\pi + 55\sqrt 2 \pi } \right)c{m^2} \\ & \\ &V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}} + {B_2}} \right) \\ &V = \frac{5}{3}\left( {64\pi + \sqrt {64\pi 9\pi } + 9\pi } \right) \\ &V = \frac{{485}}{3}\pi c{m^3}\end{aligned}$

Пр.2)

379

$\begin{aligned}&{s^2} = {H^2} + \left( {{r_1} - {r_2}} \right) \\ &{s^2} = {5^2} + {3^2} \\ &{s^2} = 16 \\ &s = 4cm \\ & \\ &P = {B_1} + {B_2} + M \\ &\frac{{{B_1} + {B_2} + M}}{2} = M \\ &{B_1} + {B_2} + M = 2M \\ &{B_1} + {B_2} = M \\ &r_1^2\pi + r_2^2\pi = s\pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right) \\ &\left( {{r_1} + {r_2}} \right)\pi = s\pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right) \\ &{\left( {3 + {r_2}} \right)^2} + r_2^2 = 5\left( {3 + {r_2} + {r_2}} \right) \\ &9 + 6{r_2} + r_2^2 + r_2^2 = 15 + 10{r_2} \\ &2r_2^2 - 4{r_2} - 6 = 0 \\ &r_2^2 - 2{r_2} - 3 = 0 \\ &{r_{{2_{1,2}}}} = \frac{{2 \pm \sqrt {4 + 12} }}{2} = \frac{{2 \pm 4}}{2} \Rightarrow \begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{r_2} = - 1} \\ {{r_2} = 3cm} \end{array} \\ &{r_1} = 6cm \\ & \\ &P = {B_1} + {B_2} + M \\ &P = r_1^2\pi + r_2^2\pi + s\pi \left( {{r_1} + {r_2}} \right) \\ &P = 36\pi + 9\pi + 5\pi \cdot 9 \\ &P = 90\pi c{m^2} \\ & \\ &V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}} + {B_2}} \right) \\ &V = \frac{4}{3}\left( {36\pi + \sqrt {36\pi 9\pi } + 9\pi } \right) \\ &V = 84\pi c{m^3}\end{aligned}$

Зарубљена купа је део купе између основе и пресека паралелног основи. Има основе полупречника $r_1$ и $r_2$ , висину $H$ и изводницу $s$ . Осни пресек је једнакокраки трапез, а из његовог правоуглог троугла $s^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$ . Омотач је $M = s\pi(r_1 + r_2)$ , површина $P = r_1^2\pi + r_2^2\pi + M$ , а запремина $V = \frac{H\pi}{3}\left(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2\right)$ .

Нагиб изводнице према основи је угао тог троугла: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r_1 - r_2}$ , па је за $45^\circ$ висина $H = r_1 - r_2$ . Кад је задат однос површина, на пример $M = B_1 + B_2$ , а позната је разлика полупречника, добијате квадратну једначину по $r_2$ са једним позитивним решењем. Честа грешка је $(r_1 - r_2)$ без квадрата у Питагориној теореми.

Полупречник отвора r₁4 cm

Полупречник дна r₂2,5 cm

Висина H8 cm

Изводница s: 8,14 cm
Нагиб изводнице: 79,4°
Запремина V: 270,2 cm³
Папир за зид и дно: 185,8 cm²

Почетне мере су мере папирне чаше: око 270 cm³ и 185,8 cm² папира. Изједначите полупречнике: добијате ваљак, а изводница постаје једнака висини.

Чаше, кофе, саксије и абажури имају облик зарубљене купе, па произвођачи по овим обрасцима рачунају запремину посуде и количину материјала.

Папирна чаша

Папирна чаша има облик зарубљене купе: пречник отвора је 8 cm, пречник дна 5 cm, а висина 8 cm. Колико милилитара стане у чашу и колико папира треба за зид и дно?

Решење

Полупречници су $r_1 = 4$ cm и $r_2 = 2{,}5$ cm. Изводница: $s^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2 = 64 + 2{,}25 = 66{,}25$ , па је $s \approx 8{,}14$ cm.
Запремина: $V = \frac{8\pi}{3}\left(16 + 10 + 6{,}25\right) = \frac{8\pi}{3} \cdot 32{,}25 = 86\pi \approx 270{,}2$ cm³, а 1 cm³ је 1 ml.
Зид чаше: $M = s\pi(r_1 + r_2) \approx 8{,}14 \cdot 6{,}5\pi \approx 166{,}2$ cm².
Дно: $r_2^2\pi = 6{,}25\pi \approx 19{,}6$ cm², па папира треба око $166{,}2 + 19{,}6 = 185{,}8$ cm².

Одговор: У чашу стане око 270 ml, а папира треба око 186 cm².

Задатак за вежбу

Полупречници основа зарубљене купе су 7 cm и 3 cm, а изводница је нагнута према основи под углом од $60^\circ$ . Израчунајте површину и запремину.

Прикажи решење

$H = (7 - 3)\operatorname{tg} 60^\circ = 4\sqrt3$ cm, $s = \frac{4}{\cos 60^\circ} = 8$ cm. $P = 49\pi + 9\pi + 8\pi \cdot 10 = 138\pi \approx 433{,}5$ cm², $V = \frac{4\sqrt3\pi}{3}(49 + 21 + 9) = \frac{316\sqrt3\pi}{3} \approx 573{,}2$ cm³.