Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 8

Међусобни положај правих. Угао између две праве, услов паралелености и услов нормалности. Примена на троугао. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6) Дата су темена троугла $A\left( {0, - 3} \right)$ , $B\left( { - 2, - 1} \right)$ , $C\left( {2,3} \right)$ .

Одредити: а) једначину странице $c$

б) једначину висине ${h_c}$

в) дужину тежишне дужи ${t_a}$

г) угао $\beta$

д) једначину симетрале странице $C$

е) координате центра описане кружнице $O$

ф) тачку

D

која дели дуж

AC

у односу 4:3

Пр.6)

415 png

$\begin{aligned}&c = p\left( {AB} \right):y - {y_1} = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\left( {x - {x_1}} \right) \\ &y + 3 = \frac{{ - 1 + 3}}{{ - 2 - 0}}\left( {x - 0} \right) \\ &y + 3 = - x \\ &c:y = - x - 3 \\ &{k_c} = - 1 \\ & \\ &{h_c}:y = kx + n \\ &{h_c} \bot c \Leftrightarrow {k_{{h_c}}} = - \frac{1}{{{k_c}}} = 1 \\ &{h_c}:y = x + n \\ &C \in {h_c}:3 = 2 + n \Rightarrow n = 1 \\ &{h_c}:y = x + 1 \\ & \\ &{A_1}\left( {\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2},\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}} \right) \\ &{A_1}\left( {\frac{{ - 2 + 2}}{2},\frac{{ - 1 + 3}}{2}} \right) \\ &{A_1}\left( {0,1} \right) \\ & \\ &\left| {{t_a}} \right| = \left| {A{A_1}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_{{A_1}}}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_{{A_1}}}} \right)}^2}} = \\ &= \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {0 + 16} = 4 \\ & \\ &a = p\left( {CB} \right):y - {y_1} = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\left( {x - {x_1}} \right) \\ &y + 1 = \frac{{3 + 1}}{{2 + 2}}\left( {x - 0} \right) \\ &y + 1 = x + 2 \\ &a:y = x + 1 \\ &{k_a} = 1 \\ & \\ &tg\beta = \left| {\frac{{{k_a} - {k_b}}}{{1 + {k_a} \cdot {k_b}}}} \right| = \left| {\frac{{1 + 1}}{{1 - 1}}} \right| = \left| {\frac{2}{0}} \right| = \infty \Rightarrow \beta = {90^ \circ } \\ & \\ &{C_1}\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) \\ &{C_1}\left( {\frac{{0 - 2}}{2},\frac{{ - 3 - 1}}{2}} \right) \\ &{C_1}\left( { - 1, - 2} \right) \\ & \\ &{s_c}:y = kx + n \\ &{s_c} \bot c \Leftrightarrow {k_{{s_c}}} = - \frac{1}{{{k_c}}} = 1 \\ &{s_c}:y = x + n \\ &{C_1} \in {s_c}: - 2 = - 1 + n \Rightarrow n = - 1 \\ &{s_c}:y = x - 1 \\ & \\ &{s_a}:y = kx + n \\ &{s_a} \bot a \Leftrightarrow {k_{{s_a}}} = - \frac{1}{{{k_a}}} = - 1 \\ &{s_a}:y = - x + n \\ &{A_1} \in {s_a}:1 = - 0 + n \Rightarrow n = 1 \\ &{s_a}:y = - x + 1 \\ & \\ &\left\{ O \right\} = {s_a} \cap {s_c} \\ &{s_c}:y = x - 1 \\ &\underline {{s_a}:y = - x + 1} \\ &x - 1 = - x + 1 \\ &2x = 2 \\ &x = 1 \\ &y = - 1 + 1 = 0 \\ &O\left( {1,0} \right) \\ & \\ &D\left( {\frac{{0 \cdot 3 + 2 \cdot 4}}{7},\frac{{ - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4}}{7}} \right) \\ &D\left( {\frac{8}{7},\frac{3}{7}} \right)\end{aligned}$

Симетрала странице је права нормална на страницу кроз њено средиште. За страницу $AB$ нађите средиште $C_1$ и коефицијент $k_{AB}$ ; симетрала има коефицијент $-\frac{1}{k_{AB}}$ и пролази кроз $C_1$ . Свака тачка симетрале једнако је удаљена од $A$ и $B$ .

Зато је центар $O$ описане кружнице пресек две симетрале: једнако је удаљен од сва три темена, полупречник је $R = |OA|$ , а $|OB| = |OC| = R$ служи као провера. Код правоуглог троугла центар је средиште хипотенузе. Висину из темена пишете слично, кроз теме уместо кроз средиште, а угао троугла из коефицијената страница, $\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|$ . Пазите: симетрала иде кроз средиште, а висина кроз теме.

|OA|: 5
|OB|: 5
|OC|: 5

Симетрале страница

AB

и

AC

секу се у центру

O

описане кружнице, а кроз ту тачку пролази и симетрала треће странице. Растојања до сва три села остају једнака; код тупоуглог троугла центар је ван троугла.

Тачка једнако удаљена од три места, на пример место за заједнички бунар, предајник или сабирни центар три села, је центар кружнице описане око троугла чија су темена та места.

Водоторањ за три села

Три села су у тачкама $A(-1, 5)$ , $B(6, 4)$ и $C(-1, -3)$ на мапи са јединицом 1 km. Водоторањ треба поставити тако да буде једнако удаљен од сва три села. Где ће бити и колико је удаљен од њих?

Решење

Страница $AC$ лежи на вертикали $x = -1$ , а средиште јој је $B_1(-1, 1)$ , па је њена симетрала хоризонтална права $y = 1$ .
Средиште странице $AB$ је $C_1\left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)$ , а $k_{AB} = \frac{4 - 5}{6 + 1} = -\frac{1}{7}$ , па симетрала има $k = 7$ : $y - \frac{9}{2} = 7\left(x - \frac{5}{2}\right)$ , тј. $y = 7x - 13$ .
Пресек са $y = 1$ : $7x - 13 = 1$ , па је $x = 2$ и $O(2, 1)$ .
Провера: $|OA| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , $|OB| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ и $|OC| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ .

Одговор: Водоторањ треба поставити у тачку $O(2, 1)$ , по 5 km од сваког села.

Задатак за вежбу

Напишите једначину симетрале дужи $AB$ ако је $A(-2, 1)$ и $B(4, 5)$ .

Прикажи решење

Средиште је $(1, 3)$ , а $k_{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ , па симетрала има $k = -\frac{3}{2}$ : $y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1)$ , тј. $3x + 2y - 9 = 0$ .